Calcule os seguintes limites:
(a)
lim x 3 pi / 2(1+cos x)^1 / cos x
(b)
lim x pi / 2(1+1tg x)^tg x
©
lim n infty(2 n+32 n+1)^n+1
(d)
lim x infty(1+10x)^x

Passo 1

O enunciado pede pra calcular quatro limites que envolvem formas do tipo (1+u)^{1/u} ou (1+u)^{const/u} para u→0 ou (1+a/x)^x para x→∞. O conteúdo principal aqui é o limite fundamental limuto0(1+u)^1/u=e e o limite exponencial limxtoinfty(1+tfracax)^x=e^a.

Passo 2

Antes de começar, vamos lembrar da teoria básica: quando temos uma expressão na forma (1+u)^1/u com uto0, o limite é e. Mais geralmente, (1+tfracax)^xto e^a quando xtoinfty.

Passo 3

Para o item (a), note que ao fazer u=cos x, quando xtotfrac3pi2, temos uto0. A expressão fica (1+u)^1/u, de onde
limxtotfrac3pi2(1+cos x)^1/cos x=limuto0(1+u)^1/u=e

Passo 4

No item (b), defina t=tan x. Quando xtotfracpi2, ttopminfty, mas o limite (1+1/t)^t também tende a e. Logo
limxtotfracpi2l(1+tfrac1tan xr)^tan x=limttoinfty(1+tfrac1t)^t=e

Passo 5

No item ©, reescreva:
2n+32n+1=1+22n+1,
e note que n+1=tfrac2n+1+12=tfracm+12 se definirmos m=2n+1. Assim
l(1+tfrac22n+1r)^n+1=l(1+tfrac2mr)^tfracm+12=l[(1+tfrac2m)^mr]^tfracm+12m,
e como (1+2/m)^mto e^2 e (m+1)/(2m)to1/2, o limite é e^2cdot1/2=e.

Passo 6

Para o item (d), usamos diretamente
limxtoinftyl(1+tfrac10xr)^x=e^10

Resposta

a) e
b) e
c) e
d) e^{10}

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