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Questão: Determine o domínio de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o domínio da função $ f(x) = \sqrt{6 - x + |2x - 3|} $. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. Aqui, a gente precisa cuidar da raiz quadrada e do valor absoluto. Para que a raiz quadrada seja real, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então, vamos precisar usar conceitos de raízes quadradas e valores absolutos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a expressão dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero. Ou seja:
Agora, precisamos lidar com o valor absoluto $ |2x - 3| $. O valor absoluto pode ser positivo ou negativo, então vamos dividir o problema em dois casos para facilitar.
Passo 3
Caso 1: $ 2x - 3 \geq 0 $
Isso significa que $ x \geq \frac{3}{2} $.
Nessa situação, o valor absoluto $ |2x - 3| $ simplifica para $ 2x - 3 $. Então, substituindo na desigualdade:
Isso significa que $ x \geq \frac{3}{2} $.
Nessa situação, o valor absoluto $ |2x - 3| $ simplifica para $ 2x - 3 $. Então, substituindo na desigualdade:
Simplificando:
Mas lembrando que nesse caso específico $ x \geq \frac{3}{2} $, então a condição final para esse caso é $ x \geq \frac{3}{2} $.
Passo 4
Caso 2: $ 2x - 3 < 0 $
Isso significa que $ x < \frac{3}{2} $.
Aqui, o valor absoluto $ |2x - 3| $ vira $ -(2x - 3) = 3 - 2x $. Substituindo na desigualdade:
Isso significa que $ x < \frac{3}{2} $.
Aqui, o valor absoluto $ |2x - 3| $ vira $ -(2x - 3) = 3 - 2x $. Substituindo na desigualdade:
Simplificando:
Como nesse caso $ x < \frac{3}{2} $, a condição final para esse caso é $ x < \frac{3}{2} $.
Passo 5
Agora, vamos juntar as soluções dos dois casos:
- Caso 1: $ x \geq \frac{3}{2} $
- Caso 2: $ x < \frac{3}{2} $ e $ x \leq 3 $
Juntando tudo, vemos que a função está definida para todos os valores de $ x $ que são menores ou iguais a 3. Isso porque para $ x \geq \frac{3}{2} $, já garantimos que $ x \geq \frac{3}{2} $ não ultrapassa 3 devido à restrição do Caso 2.
Resposta
O domínio de $ f(x) = \sqrt{6 - x + |2x - 3|} $ é todos os números reais tal que $ x \leq 3 $.