1 ^a Questão: Determine o domínio de f(x)=raiz6-x+|2 x-3|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o domínio da função $ f(x) = \sqrt{6 - x + |2x - 3|} $. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. Aqui, a gente precisa cuidar da raiz quadrada e do valor absoluto. Para que a raiz quadrada seja real, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então, vamos precisar usar conceitos de raízes quadradas e valores absolutos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a expressão dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero. Ou seja:
6 - x + |2x - 3| >= 0
Agora, precisamos lidar com o valor absoluto $ |2x - 3| $. O valor absoluto pode ser positivo ou negativo, então vamos dividir o problema em dois casos para facilitar.

Passo 3

Caso 1: $ 2x - 3 \geq 0 $
Isso significa que $ x \geq \frac{3}{2} $.
Nessa situação, o valor absoluto $ |2x - 3| $ simplifica para $ 2x - 3 $. Então, substituindo na desigualdade:
2x - 3 >= 0
Simplificando:
x >= 32
Mas lembrando que nesse caso específico $ x \geq \frac{3}{2} $, então a condição final para esse caso é $ x \geq \frac{3}{2} $.

Passo 4

Caso 2: $ 2x - 3 < 0 $
Isso significa que $ x < \frac{3}{2} $.
Aqui, o valor absoluto $ |2x - 3| $ vira $ -(2x - 3) = 3 - 2x $. Substituindo na desigualdade:
2x - 3 < 0
Simplificando:
x < 32
Como nesse caso $ x < \frac{3}{2} $, a condição final para esse caso é $ x < \frac{3}{2} $.

Passo 5

Agora, vamos juntar as soluções dos dois casos:
  • Caso 1: $ x \geq \frac{3}{2} $
  • Caso 2: $ x < \frac{3}{2} $ e $ x \leq 3 $
Juntando tudo, vemos que a função está definida para todos os valores de $ x $ que são menores ou iguais a 3. Isso porque para $ x \geq \frac{3}{2} $, já garantimos que $ x \geq \frac{3}{2} $ não ultrapassa 3 devido à restrição do Caso 2.

Resposta

O domínio de $ f(x) = \sqrt{6 - x + |2x - 3|} $ é todos os números reais tal que $ x \leq 3 $.
f(x) = raiz6 - x + |2x - 3|

Exercícios relacionados