Calcule os seguintes limites:
lim (1-1n)^n

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
limntoinftyl(1-1nr)^n.
O conteúdo é limite de sequência do tipo exponencial; para resolver, é comum usar o logaritmo natural para transformar potências em produtos.

Passo 2

Seja
an=l(1-tfrac1nr)^n.
Como o logaritmo natural é contínuo, vamos primeiro achar
limntoinftyln(an).
Temos
ln(an) = n ,ln!l(1-tfrac1nr)

Passo 3

Para avaliar
limntoinftynln!l(1-tfrac1nr),
usamos a expansão em série para x pequeno:
ln(1-x)=-x-tfracx^22+o(x^2)
Aqui x=tfrac1n, logo
ln!l(1-tfrac1nr) =-tfrac1n-tfrac12n^2+o!l(tfrac1n^2r),
e multiplicando por n vem
nln!l(1-tfrac1nr) =-1-tfrac12n+o!l(tfrac1nr) ;longrightarrow;-1

Passo 4

Como
limntoinftyln(an)=-1
e a função exp é contínua, podemos “desfazer” o logaritmo:
limntoinftyan =exp!l(limntoinftyln(an)r) =e^-1

Resposta

1e

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