Calcule os seguintes Limites
lim x 0(1+sen x)^1 / x
Dica: nos itens anteriores use que:
lim x infty(1+1x)^x=e

Passo 1

Nesse exercício queremos calcular o limite
L=limxto 0(1+sin x)^1/x
O conteúdo principal é limite de forma indeterminada exponencial do tipo 1^infty, e vamos usar a definição
limutoinftyl(1+1ur)^u=e
além de técnicas de logaritmo e aproximações de Taylor.

Passo 2

Para lidar com a indeterminação 1^infty, aplicamos logaritmo natural. Sejam
L=limxto0(1+sin x)^1/x,
então
ln L=limxto0lnl(1+sin xr)x
Depois, no final, faremos L=exp(ln L).

Passo 3

Agora precisamos calcular
A=limxto0ln(1+sin x)x
Usamos a expansão de Taylor para pequenas x:
sin x=x-x^36+o(x^3),
e a série de ln(1+t)=t-tfract^22+o(t^2). Substituindo t=sin x:
ln(1+sin x)=sin x-(sin x)^22+o(x^2)=l(x-x^36r)-x^22+o(x^2)
Logo
ln(1+sin x)=x-x^22+o(x^2)

Passo 4

Dividindo por x e tomando o limite, temos
A=limxto0l(1-x2+o(x)r)=1
Portanto
ln L=1
e finalmente
L=exp(1)=e

Resposta

e

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