Sabendo que w=sen(x y), onde x=t^2 e y=1-2 t, assinale a alternativa que contém o valor de d wd t quando t=a:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função , onde e . A gente precisa descobrir qual é o valor de quando . Para isso, vamos usar o conceito de derivada, especificamente a regra da cadeia e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, é uma função que depende do produto de e . Sabemos que e . Então, para encontrar , precisamos derivar em relação a .

Passo 3

Vamos aplicar a regra da cadeia. A derivada de em relação a dwdt = cos(xy) cdot d(xy)dt é , onde . Então, temos:
Agora, precisamos calcular .

Passo 4

Para derivar d(xy)dt = x cdot dydt + y cdot dxdt em relação a , usamos a regra do produto. Ou seja, se e , então:
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 5

Primeiro, calculemos dxdt = d(t^2)dt = 2t e dydt = d(1 - 2t)dt = -2 :

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na expressão da derivada do produto:
d(xy)dt = x cdot dydt + y cdot dxdt = t^2 cdot (-2) + (1 - 2t) cdot 2t
Vamos simplificar isso:
d(xy)dt = -2t^2 + 2t(1 - 2t) = -2t^2 + 2t - 4t^2 = -6t^2 + 2t

Passo 7

Agora, voltamos à expressão da derivada de dwdt = cos(xy) cdot (-6t^2 + 2t) :
Lembrando que e , então .

Passo 8

Substituímos dwdt = cos(t^2 - 2t^3) cdot (-6t^2 + 2t) na expressão:

Passo 9

Finalmente, queremos o valor de dwdt|t=a = cos(a^2 - 2a^3) cdot (-6a^2 + 2a) quando :

Resposta

dwdtg|t=a = cos(a^2 - 2a^3) cdot (-6a^2 + 2a)

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