Encontre a solução de cada PVI:
cy^prime prime+y=sec t y(0)=0, y^prime(0)=10

Passo 1

O enunciado pede a solução do PVI
y'' + y = sec t, y(0)=0, y'(0)=10
O conteúdo é EDO linear de 2ª ordem não homogênea e vamos precisar: a solução geral da homogênea e o método de variação de parâmetros para achar uma particular.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + y = 0
Suas soluções fundamentais são
y1(t)=cos t, y2(t)=sin t
de modo que a solução geral da homogênea é
yh(t)=C1cos t + C2sin t

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, calculamos o Wronskiano de y1,y2:
W = y1 & y2 y1' & y2' = cos t & sin t -sin t & cos t = 1
A fórmula dá a particular
yp = -y1 integral y2 cdot f(t)W,dt + y2 integral y1 cdot f(t)W,dt,
onde f(t)=sec t.

Passo 4

Calculamos as integrais:
integral y2 f = integral sin tsec t,dt = integral tan t,dt = -ln|cos t|,
integral y1 f = integral cos tsec t,dt = integral 1,dt = t
Logo,
yp = -cos tl(-ln|cos t|r) + sin t,(t) = cos tln|cos t| + tsin t

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é
y(t)=yh + yp = C1cos t + C2sin t + tsin t + cos tln|cos t|

Passo 6

Agora impondo as condições iniciais:
Em t=0, temos cos0=1, sin0=0, ln|cos0|=0. Então
y(0)=C1 + 0 + 0 + 0 = C1 = 0
Derivando
y'(t)= -C1sin t + C2cos t + sin t + tcos t - sin tl(ln|cos t|+1r)
que em t=0 vira
$$
y’(0)=C_2 = 10.$$
Assim y'(0)=C2 = 10.

Resposta

A solução do PVI é
y(t)=10\sin t + t\sin t + \cos t,\ln(\cos t),
que pode ser escrita como
y(t)=(t+10)\sin t + \cos t\ln(\cos t).

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