Encontre a solução de cada PVI:
cy^prime prime+y=t y(0)=y^prime(0)=0

Passo 1

O PVI a resolver é dado por
y'' + y = t,
com as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0. Trata-se de uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes; para resolvê-la precisamos obter a solução geral da parte homogênea, uma solução particular e depois ajustar as constantes pelas condições iniciais.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea associada:
y'' + y = 0
A equação característica é r^2 + 1 = 0, cujas raízes são r=pm i. Logo, a solução homogênea é
yh(t) = C1cos t + C2sin t

Passo 3

Para a parte não homogênea y'' + y = t, usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é um polinômio de grau 1, tentamos
yp(t) = A t + B
Então
yp' = A, yp'' = 0
Substituindo em y'' + y = t obtemos
0 + (A t + B) = t
Logo A=1 e B=0, ou seja,
yp(t) = t

Passo 4

A solução geral é a soma das partes homogênea e particular:
y(t) = C1cos t + C2sin t + t
Calculamos a derivada:
y'(t) = -C1sin t + C2cos t + 1
Usando y(0)=0 e y'(0)=0:
$$
y(0)=C_1+0+0=0\Rightarrow C_1=0,$$
y(0)=C1+0+0=0Rightarrow C1=0,
Portanto, a solução que satisfaz o PVI é obtida substituindo y'(0)=0+C2+1=0Rightarrow C2=-1 e C1=0.

Resposta

y(t)=t-sin t

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