Calcule os seguintes limites:
lim x -3 (x^4+4 x^3-18 x^2-108 x-135)^15(x^3+7 x^2+16 x+12)^45

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x -3 (x^4+4 x^3-18 x^2-108 x-135)^15(x^3+7 x^2+16 x+12)^45
Aqui, estamos lidando com um limite envolvendo funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar fatorar o numerador e o denominador, especialmente verificando se é uma raiz desses polinômios. Isso vai nos ajudar a simplificar a expressão e calcular o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se f(x) = x^4 + 4x^3 - 18x^2 - 108x - 135 é uma raiz do polinômio do numerador:
f(-3) = (-3)^4 + 4(-3)^3 - 18(-3)^2 - 108(-3) - 135 = 81 - 108 - 162 + 324 - 135 = 0
Substituindo :
Como , sabemos que é um fator do numerador.

Passo 3

Agora, vamos verificar se g(x) = x^3 + 7x^2 + 16x + 12 também é uma raiz do denominador:
g(-3) = (-3)^3 + 7(-3)^2 + 16(-3) + 12 = -27 + 63 - 48 + 12 = 0
Substituindo :
Como , também é um fator do denominador.

Passo 4

Vamos fatorar o numerador f(x) = (x + 3)(x^3 + x^2 - 21x - 45) :
Sabemos que (-3)^3 + (-3)^2 - 21(-3) - 45 = -27 + 9 + 63 - 45 = 0 é um fator. Vamos dividir f(x) = (x + 3)^2 (x^2 - 2x - 15) por f(x) = (x + 3)^2 (x - 5)(x + 3) usando a divisão polinomial ou a regra de Ruffini.
Após a divisão, encontramos:
f(x) = (x + 3)^3 (x - 5)
Agora, vamos verificar se é um fator múltiplo.
Substituindo no polinômio resultante:
Portanto, é fator do numerador.
Continuando a fatoração:
Fatorando ainda mais:
Assim, temos:

Passo 5

Agora, vamos fatorar o denominador g(x) = (x + 3)(x^2 + 4x + 4) :
Sabemos que x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 é um fator. Vamos dividir g(x) = (x + 3)(x + 2)^2 por :
Após a divisão, encontramos:
O polinômio quadrático pode ser fatorado como:
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos substituir as fatorações na expressão original:
f(x)^15g(x)^45 = [(x + 3)^3 (x - 5)]^15[(x + 3)(x + 2)^2]^45
Aplicando as potências:
= (x + 3)^45 (x - 5)^15(x + 3)^45 (x + 2)^90
Aqui, = (x - 5)^15(x + 2)^90 no numerador e denominador se cancelam:

Passo 7

Agora, substituímos (-3 - 5)^15(-3 + 2)^90 = (-8)^15(-1)^90 na expressão simplificada:
= -8^151 = -8^15
Como e , temos:

Resposta

O limite é .

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