Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, estamos lidando com um limite envolvendo funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar fatorar o numerador e o denominador, especialmente verificando se
é uma raiz desses polinômios. Isso vai nos ajudar a simplificar a expressão e calcular o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é uma raiz do polinômio do numerador:
Substituindo
:
Como
, sabemos que
é um fator do numerador.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
também é uma raiz do denominador:
Substituindo
:
Como
,
também é um fator do denominador.
Passo 4
Vamos fatorar o numerador
:
Sabemos que
é um fator. Vamos dividir
por
usando a divisão polinomial ou a regra de Ruffini.
Após a divisão, encontramos:
Agora, vamos verificar se
é um fator múltiplo.
Substituindo
no polinômio resultante:
Portanto,
é fator do numerador.
Continuando a fatoração:
Fatorando ainda mais:
Assim, temos:
Passo 5
Agora, vamos fatorar o denominador
:
Sabemos que
é um fator. Vamos dividir
por
:
Após a divisão, encontramos:
O polinômio quadrático pode ser fatorado como:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos substituir as fatorações na expressão original:
Aplicando as potências:
Aqui,
no numerador e denominador se cancelam:
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão simplificada:
Como
e
, temos:
Resposta
O limite é
.