Nos problemas de 1 a 6, use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.
y^prime prime prime+y^prime=tg t, 0

Passo 1

Estamos lidando com a EDO linear de 3ª ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo tan t:
Queremos resolver
y''' + y' = tan t, 0
Usaremos o método de variação dos parâmetros, que exige conhecer primeiro a solução homogênea e depois encontrar uma solução particular.

Passo 2

Resolvendo a equação homogênea
y''' + y' = 0
escrevemos o polinômio característico
lambda^3 + lambda = lambda(lambda^2+1)=0
As raízes são lambda=0,,i,,-i. Logo a solução homogênea é
yh = C1 + C2cos t + C3sin t

Passo 3

Para a variação dos parâmetros supomos uma solução particular da forma
yp = u1(t)cdot 1 + u2(t)cos t + u3(t)sin t,
e impomos as condições
u1'cdot 1 + u2'cos t + u3'sin t = 0,
u1'cdot 0 + u2'(-sin t) + u3'cos t = 0,
u1'cdot 0 + u2'(-cos t) + u3'(-sin t) = tan t

Passo 4

Resolvendo esse sistema para u1',u2',u3' obtemos
u2' = -sin t,
u3' = -sec t + cos t,
u1' = tan t

Passo 5

Integramos cada derivada para achar ui:
u1 = integraltan t,dt = -ln|cos t|,
u2 = integral(-sin t),dt = cos t,
u3 = integral(-sec t + cos t),dt = -ln|sec t + tan t| + sin t

Passo 6

Agora montamos yp:
yp = u1 + u2cos t + u3sin t
Substituindo e usando cos^2 t+sin^2 t=1, chega-se a
yp = 1 - ln|cos t| - sin t,ln|sec t + tan t|
O termo +1 pode ser absorvido em C1, dando a solução geral

Resposta

y = C1 + C2cos t + C3sin t - ln|cos t| - sin t,ln|tan t + sec t|.

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