Determine os valores de r, para que y(t)=e^r t seja soluçao da EDO
y^prime prime prime-2 y^prime prime-3 y^prime=0,
e y(t)=t^r seja solução da EDO
t^2 y^prime prime-4 t y^prime+2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os valores de que fazem com que as funções e sejam soluções de duas Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) diferentes. Para isso, vamos usar o conceito de substituir a função proposta na EDO e resolver a equação resultante para encontrar .

Passo 2

Vamos começar com a primeira EDO:
y''' - 2y'' - 3y' = 0
E queremos que seja uma solução. Primeiro, precisamos calcular as derivadas de .

Passo 3

Calculando as derivadas de y' = r e^r t :
y'' = r^2 e^r t
y''' = r^3 e^r t

Passo 4

Agora, vamos substituir r^3 e^r t - 2r^2 e^r t - 3r e^r t = 0 , , e na EDO:

Passo 5

Como r^3 - 2r^2 - 3r = 0 nunca é zero, podemos dividir toda a equação por :

Passo 6

Fatorando a equação:
r(r^2 - 2r - 3) = 0
r(r - 3)(r + 1) = 0

Passo 7

Então, os valores de r = 0, r = 3, r = -1 são:

Passo 8

Agora, vamos para a segunda EDO:
t^2 y'' - 4t y' + 2y = 0
E queremos que seja uma solução. Primeiro, calculamos as derivadas de .

Passo 9

Calculando as derivadas de y' = r t^r - 1 :
y'' = r (r - 1) t^r - 2

Passo 10

Substituindo t^2 cdot r (r - 1) t^r - 2 - 4t cdot r t^r - 1 + 2 t^r = 0 , e na EDO:

Passo 11

Simplificando os termos:
r (r - 1) t^r - 4r t^r + 2 t^r = 0

Passo 12

Fatorando t^r [r (r - 1) - 4r + 2] = 0 :

Passo 13

Como r (r - 1) - 4r + 2 = 0 não é zero, resolvemos a equação dentro dos colchetes:
r^2 - r - 4r + 2 = 0
r^2 - 5r + 2 = 0

Passo 14

Resolvendo a equação quadrática:
r = 5 pm raiz25 - 82 = 5 pm raiz172

Resposta

Os valores de boxed &Para y(t) = e^r t: r = 0, 3, -1 &Para y(t) = t^r: r = 5 + raiz172, 5 - raiz172 que satisfazem as EDOs são:

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