Considere a seguinte equação diferencial
.
Mostre que não exata.
Mostre que não exata.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial
e{x{3}} + ,\operatorname{sen}(y) + \Bigl(\tfrac{x}{3}\cos(y)\Bigr)y’=0
não é exata. O conteúdo aqui é exatidão de equações diferenciais de primeira ordem, e vamos precisar da condição de exatidão que diz que, se a equação estiver na forma
M(x,y) + N(x,y),y’=0,
então ela é exata se e somente se
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
e{x{3}} + ,\operatorname{sen}(y) + \Bigl(\tfrac{x}{3}\cos(y)\Bigr)y’=0
não é exata. O conteúdo aqui é exatidão de equações diferenciais de primeira ordem, e vamos precisar da condição de exatidão que diz que, se a equação estiver na forma
M(x,y) + N(x,y),y’=0,
então ela é exata se e somente se
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Passo 2
Reescrevendo a equação na forma
M(x,y) + N(x,y),y’=0,
identificamos:
M(x,y) = e{x{3}} + \sin(y),
N(x,y) = \frac{x}{3}\cos(y).
M(x,y) + N(x,y),y’=0,
identificamos:
M(x,y) = e{x{3}} + \sin(y),
N(x,y) = \frac{x}{3}\cos(y).
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de M em relação a y:
Passo 4
Agora calculamos a derivada parcial de N em relação a x:
Passo 5
Comparando as duas derivadas:
e
.
Como em geral, a condição de exatidão não é satisfeita, logo a equação não é exata.
Como
Resposta
A equação não é exata porque