Considere a seguinte equação diferencial e^x^3+sen(y)+(x3 cos (y)) y^prime=0.
Mostre que não exata.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial
e{x{3}} + ,\operatorname{sen}(y) + \Bigl(\tfrac{x}{3}\cos(y)\Bigr)y’=0
não é exata. O conteúdo aqui é exatidão de equações diferenciais de primeira ordem, e vamos precisar da condição de exatidão que diz que, se a equação estiver na forma
M(x,y) + N(x,y),y’=0,
então ela é exata se e somente se
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.

Passo 2

Reescrevendo a equação na forma
M(x,y) + N(x,y),y’=0,
identificamos:
M(x,y) = e{x{3}} + \sin(y),
N(x,y) = \frac{x}{3}\cos(y).

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de M em relação a y:
partial Mpartial y = partialpartial yl(e^x^3 + sin(y)r) = 0 + cos(y) = cos(y)

Passo 4

Agora calculamos a derivada parcial de N em relação a x:
partial Npartial x = partialpartial xl(x3cos(y)r) = 13cos(y)

Passo 5

Comparando as duas derivadas:
cos(y) neq tfrac13cos(y) e
.
Como em geral, a condição de exatidão não é satisfeita, logo a equação não é exata.

Resposta

A equação não é exata porque

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