Calcule os seguintes limites:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite de uma função que envolve duas variáveis, $ x $ e $ y $, quando essas variáveis se aproximam de $ (1, 1) $. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos precisar entender limites de funções de duas variáveis e como simplificar expressões envolvendo frações e potências. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do arco seno:
Quando $ x $ e $ y $ se aproximam de 1, vamos substituir $ x = 1 $ e $ y = 1 $ na expressão para ter uma ideia:
Então, a expressão dentro do arco seno tende a $ \frac{1}{2} $.
Passo 3
Agora, sabemos que o arco seno ($ \arcsen $) é a função inversa do seno, e seu domínio é de
a
. Como estamos recebendo
que está dentro desse domínio, podemos calcular:
Passo 4
Lembrando dos valores notáveis do arco seno, sabemos que:
Isso porque o seno de $ \frac{\pi}{6} $ é $ \frac{1}{2} $.
Resposta
Portanto,