Calcule os seguintes limites:
lim (x, y) (1,1) arcsen x^2 y^2x^4+y^4;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite de uma função que envolve duas variáveis, $ x $ e $ y $, quando essas variáveis se aproximam de $ (1, 1) $. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos precisar entender limites de funções de duas variáveis e como simplificar expressões envolvendo frações e potências. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do arco seno:
x^2 y^2x^4 + y^4
Quando $ x $ e $ y $ se aproximam de 1, vamos substituir $ x = 1 $ e $ y = 1 $ na expressão para ter uma ideia:
x
Então, a expressão dentro do arco seno tende a $ \frac{1}{2} $.

Passo 3

Agora, sabemos que o arco seno ($ \arcsen $) é a função inversa do seno, e seu domínio é de arcsen a -1. Como estamos recebendo 1 que está dentro desse domínio, podemos calcular:

Passo 4

Lembrando dos valores notáveis do arco seno, sabemos que:
Isso porque o seno de $ \frac{\pi}{6} $ é $ \frac{1}{2} $.

Resposta

Portanto,

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