Sejam
. Mostre que:
, para todo
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que, dados naturais
, a desigualdade se preserva ao multiplicar por qualquer
. O conteúdo principal aqui é a propriedade de ordenação no produto em
e o método de prova por indução em
.
Passo 2
Base da indução (
): como
, temos
Portanto a propriedade vale para
.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que para algum
valha
Queremos mostrar que
Usando distributividade:
Como
, somando
em ambos os lados de
obtemos
Mas, pela hipótese de indução,
, então
Juntando as duas desigualdades, fica
Passo 4
Pelo princípio da indução finita, concluímos que para todo
vale
Resposta
Para todo
, se
então
, conforme queríamos demonstrar.