Sejam m, n, p in N. Mostre que:
m, para todo p in N

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, dados naturais m, a desigualdade se preserva ao multiplicar por qualquer pin N. O conteúdo principal aqui é a propriedade de ordenação no produto em N e o método de prova por indução em p.

Passo 2

Base da indução ( p=1): como m, temos
mcdot1 = m < n = ncdot1
Portanto a propriedade vale para p=1.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que para algum kin N valha
mcdot k < ncdot k
Queremos mostrar que
mcdot(k+1) < ncdot(k+1)
Usando distributividade:
mcdot(k+1) = mcdot k + m
Como m, somando mcdot k em ambos os lados de m obtemos
mcdot k + m < mcdot k + n
Mas, pela hipótese de indução, mcdot k < ncdot k, então
mcdot k + n < ncdot k + n = ncdot(k+1)
Juntando as duas desigualdades, fica
mcdot(k+1) < ncdot(k+1)

Passo 4

Pelo princípio da indução finita, concluímos que para todo pin N vale
m

Resposta

Para todo pinN, se m então mcdot p < ncdot p, conforme queríamos demonstrar.

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