Calcule os seguintes limites:
lim (x, y) (1,2) log (x+y-1)x^2+y^2-sen pi x2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x, y) se aproxima de (1, 2). A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites em funções de duas variáveis, e vamos precisar usar um pouco de álgebra e propriedades dos logaritmos e funções trigonométricas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função faz quando (x, y) está muito perto de (1, 2). A função que temos é:
log(x + y - 1)x^2 + y^2 - sin(pi x2)
Vamos substituir (x, y) por (1, 2) diretamente para ver se conseguimos encontrar o limite.

Passo 3

Substituindo x = 1 e y = 2 na parte de cima da fração, temos:
log(1 + 2 - 1) = log(2)
Então, o numerador é log(2).

Passo 4

Agora, vamos substituir x = 1 e y = 2 na parte de baixo da fração:
1^2 + 2^2 - sin(pi cdot 12) = 1 + 4 - sin(pi2)
Sabemos que sin(pi2) = 1, então:
1 + 4 - 1 = 4
Portanto, o denominador é 4.

Passo 5

Então, após substituir, a função fica:
log(2)4
Como não há mais variáveis envolvidas, esse é o valor do limite.

Resposta

O limite é dfraclog(2)4.

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