Calcule os seguintes limites:
lim (x, y, z) (0,0,2)[(x+2x+1)^(z+2) /(z-1) arctg(x y z)];

Passo 1

Vamos resolver o limite lim (x, y, z) (0,0,2)[(x+2x+1)^z+2z-1 arctg(x y z)]. Aqui, vamos utilizar conceitos de limites de funções multivariáveis, propriedades de potências e funções trigonométricas. Precisaremos entender como cada parte da expressão se comporta quando (x, y, z) se aproxima de (0, 0, 2).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a fração x+2x+1. Quando x se aproxima de 0, substituímos na fração:
0+20+1 = 21 = 2
Então, x+2x+1 tende a 2 quando x 0.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o expoente z+2z-1. Quando z se aproxima de 2:
2+22-1 = 41 = 4
Portanto, o expoente z+2z-1 tende a 4 quando z 2.

Passo 4

Agora, juntando as duas partes anteriores, temos:
(x+2x+1)^z+2z-1 approx 2^4 = 16
Isso significa que a expressão (x+2x+1)^z+2z-1 tende a 16 quando (x, z) (0, 2).

Passo 5

Vamos agora analisar a função arctg(x y z), que é a função arco-tangente de x y z. Quando (x, y, z) (0, 0, 2):
x y z 0 times 0 times 2 = 0
E sabemos que arctg(0) = 0.

Passo 6

Agora, multiplicando as duas partes que analisamos:
(x+2x+1)^z+2z-1 cdot arctg(x y z) approx 16 times 0 = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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