Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite
. Estamos lidando com limites, que fazem parte do estudo de cálculo, especificamente na definição da derivada de uma função. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões algébricas e aplicar a definição de derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a visualização. Sabemos que
é o mesmo que
. Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que
é igual a
. Então, substituindo na expressão:
Passo 4
Para simplificar a fração no numerador, precisamos ter o mesmo denominador. O denominador comum entre
e
é
. Então, reescrevemos as frações:
Agora, subtraindo as duas frações:
Passo 5
Substituímos de volta na expressão original:
Passo 6
Vamos expandir
:
Substituindo na expressão:
Então, a expressão fica:
Passo 7
Podemos fatorar
no numerador:
Cancelamos o
do numerador e denominador:
Passo 8
Agora, substituímos
por
, já que estamos calculando o limite quando
tende a 0:
Resposta
O limite é
.