Calcule os seguintes limites:
lim h 0 (2+h)^-2-2^-2h

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite lim h 0 (2+h)^-2-2^-2h. Estamos lidando com limites, que fazem parte do estudo de cálculo, especificamente na definição da derivada de uma função. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões algébricas e aplicar a definição de derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a visualização. Sabemos que 2^-2 é o mesmo que 12^2 = 14. Então, a expressão fica:
lim h 0 (2+h)^-2 - 14h

Passo 3

Agora, vamos lembrar que (2+h)^-2 é igual a 1(2+h)^2. Então, substituindo na expressão:
lim h 0 1(2+h)^2 - 14h

Passo 4

Para simplificar a fração no numerador, precisamos ter o mesmo denominador. O denominador comum entre (2+h)^2 e 4 é 4(2+h)^2. Então, reescrevemos as frações:
1(2+h)^2 = 44(2+h)^2
14 = (2+h)^24(2+h)^2
Agora, subtraindo as duas frações:
4 - (2+h)^24(2+h)^2

Passo 5

Substituímos de volta na expressão original:
lim h 0 4 - (2+h)^24(2+h)^2h = lim h 0 4 - (2+h)^24(2+h)^2 cdot h

Passo 6

Vamos expandir (2+h)^2:
(2+h)^2 = 4 + 4h + h^2
Substituindo na expressão:
4 - (4 + 4h + h^2) = 4 - 4 - 4h - h^2 = -4h - h^2
Então, a expressão fica:
lim h 0 -4h - h^24(2+h)^2 cdot h

Passo 7

Podemos fatorar h no numerador:
h(-4 - h)4(2+h)^2 cdot h
Cancelamos o h do numerador e denominador:
-4 - h4(2+h)^2

Passo 8

Agora, substituímos h por 0, já que estamos calculando o limite quando h tende a 0:
-4 - 04(2+0)^2 = -44 cdot 4 = -416 = -14

Resposta

O limite é -14.

Exercícios relacionados