Mostre que a imagem da curva gamma(t)=(cos t raiz1+t^2, sen t raiz1+t^2, t), t in R está contida na superfície x^2+y^2-z^2=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a curva gamma(t)=(cos traiz1+t^2,sin traiz1+t^2,t) fica sobre a superfície x^2+y^2-z^2=1. Vamos precisar substituir as componentes de gamma na equação da superfície e verificar que a igualdade é satisfeita.

Passo 2

As componentes da curva são x(t)=cos traiz1+t^2, y(t)=sin traiz1+t^2 e z(t)=t. Para testar a condição da superfície, calculamos x(t)^2+y(t)^2-z(t)^2.

Passo 3

Usando a identidade trigonométrica cos^2 t+sin^2 t=1, temos
x(t)^2+y(t)^2=(cos^2 t+sin^2 t),(1+t^2)=1+t^2

Passo 4

Agora subtraímos z(t)^2=t^2 do valor acima:
x(t)^2+y(t)^2-z(t)^2=(1+t^2)-t^2=1

Passo 5

Como o resultado é sempre 1 para todo tinR, concluímos que cada ponto gamma(t) satisfaz x^2+y^2-z^2=1, ou seja, a imagem de gamma está contida na superfície dada.

Resposta

Para todo tinR, substituindo gamma(t) em x^2+y^2-z^2 obtemos 1. Logo, a imagem de gamma está contida na superfície x^2+y^2-z^2=1.

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