Ache os pontos críticos de f nos seguintes casos: f(x, y) = x^3 - y^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos críticos da função . Isso está no campo do cálculo multivariável, onde a gente analisa funções com mais de uma variável. Para achar os pontos críticos, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e ver onde elas são iguais a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são pontos críticos. Em funções de várias variáveis, um ponto crítico é onde todas as derivadas parciais da função são iguais a zero ou não existem. Esses pontos são importantes porque podem indicar máximos, mínimos ou pontos de sela da função.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função .
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, igualamos cada derivada parcial a zero e resolvemos o sistema de equações resultante.

Passo 5

Vamos resolver cada equação:

  1. Dividindo ambos os lados por 3:

    Assim, .

  2. Dividindo ambos os lados por -3:

    Assim, .

Resposta

O único ponto crítico da função é .

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