Calcule os seguintes limites.
i) lim t -infty ln (t^3 e^3-t^2+et^3+9)

Passo 1

A questão pede o limite quando tto-infty de lnl((t^3e^3 - t^2 + e)/(t^3+9)r). O conteúdo envolve limite de função racional no infinito, uso do termo dominante e a continuidade do logaritmo.

Passo 2

Usamos que o logaritmo é função contínua em seu domínio positivo. Como para t muito negativo o quociente (t^3e^3 - t^2 + e)/(t^3+9) é positivo, podemos passar o limite para dentro do ln:
limtto-inftylnl(t^3e^3 - t^2 + et^3+9r)=lnl(limtto-inftyt^3e^3 - t^2 + et^3+9r)

Passo 3

Para achar limtto-infty(t^3e^3 - t^2 + e)/(t^3+9), fatoramos t^3 em numerador e denominador:
$$
\frac{t3e3 - t^2 + e}{t3+9}=\frac{t3\bigl(e^3 - \tfrac1t + \tfrac e{t3}\bigr)}{t3\bigl(1 + \tfrac9{t3}\bigr)}=\frac{e3 - \tfrac1t + \tfrac e{t^3}}{1 + \tfrac9{t^3}}.$$

Passo 4

Ao deixar tto-infty, os termos 1/t, e/t^3 e 9/t^3 vão a zero. Logo
limtto-inftye^3 - tfrac1t + tfrac et^31 + tfrac9t^3=e^3

Passo 5

Finalmente, voltando ao logaritmo, temos
lnl(e^3r)=3

Resposta

3

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