Calcule os seguintes limites.
k) lim x 0 tg(2 x)3 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite \n \nk) \n\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{3x}. Esse é um problema de limites de funções trigonométricas. Vamos usar o limite fundamental \n\lim_{u \to 0} \frac{\tan(u)}{u} = 1.

Passo 2

Observação de reescrita: podemos reorganizar a expressão para isolar o fator que lembra o limite fundamental. Escrevendo em bloco: \n$$ \frac{\tan(2x)}{3x} = \frac{\tan(2x)}{2x} \cdot \frac{2x}{3x}. $$

Passo 3

Aplicando o limite separadamente em cada fator. Pelo limite fundamental temos \n \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{2x} = 1. E simplificando o segundo fator: \n \lim_{x \to 0} \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}.

Passo 4

Como o limite de um produto é o produto dos limites (quando existem), concluímos: \n \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{3x} = 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}.

Passo 5

Portanto, o valor do limite é \frac{2}{3}. Você pode memorizar que, sempre que aparece \tan(kx)/(x), o limite é k, e aqui há ainda divisão por 3, resultando em 2/3.

Resposta

\frac{2}{3}

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