Calcule os seguintes limites:
lim x +infty 3 x^5+7 x^3+12 x^5-x^2+5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando $ x $ tende a mais infinito da função $ \frac{3x^{5} + 7x^{3} + 1}{2x^{5} - x^{2} + 5} $. A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites de funções polinomiais no infinito. Para resolver, vamos precisar entender como os termos de maior grau em polinômios influenciam o comportamento da função quando $ x $ cresce sem parar.

Passo 2

Primeiro, olhamos para o numerador e o denominador da fração. No numerador, o termo de maior grau é $ 3x^{5} $ e no denominador é $ 2x^{5} $. Quando $ x $ vai para mais infinito, os termos de menor grau (como $ 7x^{3} $, $ -x^{2} $ e constantes) acabam tendo uma influência menor comparados aos termos de maior grau.

Passo 3

Para simplificar, vamos dividir cada termo do numerador e do denominador por $ x^{5} $ (que é o maior grau presente). Assim, temos:
x^5

Passo 4

Agora, analisamos cada termo separado. Quando $ x $ tende a mais infinito:
  • $ \frac{7}{x^{2}} $ tende a 0
  • $ \frac{1}{x^{5}} $ tende a 0
  • $ \frac{1}{x^{3}} $ tende a 0
  • $ \frac{5}{x^{5}} $ tende a 0
Então, a expressão fica:
x

Resposta

O limite é $ \frac{3}{2} $.

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