Calcule os seguintes limites:
lim x -infty x sin 1|x|

Passo 1

E aí! Vamos calcular o limite de $ x \sin \left( \frac{1}{|x|} \right) $ quando $ x $ tende a menos infinito. Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, observe o que acontece com cada parte da expressão quando $ x $ vai para $ -\infty $. O valor absoluto de $ x $, que é $ |x| $, se torna muito grande, ou seja, tende a $ +\infty $. Assim, $ \frac{1}{|x|} $ tende a 0.

Passo 3

Sabemos que quando o ângulo dentro do seno é muito pequeno, $ \sin(\theta) $ é aproximadamente igual a $ \theta $. Então, para valores grandes de $ |x| $:
sin(theta)

Passo 4

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original:
x sin( 1|x| ) approx x cdot 1|x|

Passo 5

Como $ x $ é negativo (já que tende a $ -\infty $), podemos escrever $ |x| = -x $. Assim:
x

Resposta

O limite é $ -1 $.

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