Calcule os seguintes limites:
Passo 1
E aí! Vamos calcular o limite de $ x \sin \left( \frac{1}{|x|} \right) $ quando $ x $ tende a menos infinito. Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, observe o que acontece com cada parte da expressão quando $ x $ vai para $ -\infty $. O valor absoluto de $ x $, que é $ |x| $, se torna muito grande, ou seja, tende a $ +\infty $. Assim, $ \frac{1}{|x|} $ tende a 0.
Passo 3
Sabemos que quando o ângulo dentro do seno é muito pequeno, $ \sin(\theta) $ é aproximadamente igual a $ \theta $. Então, para valores grandes de $ |x| $:
Passo 4
Agora, substituímos essa aproximação na expressão original:
Passo 5
Como $ x $ é negativo (já que tende a $ -\infty $), podemos escrever $ |x| = -x $. Assim:
Resposta
O limite é $ -1 $.