Determine a solução do Problema de Valor Inicial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos é resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Esse tipo de problema faz parte do estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente das EDOs de primeira ordem. Para resolver, vamos usar a técnica de separação de variáveis, que nos ajuda a isolar as variáveis
e
em lados opostos da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. A equação dada é:
Podemos dividir ambos os lados por
para isolar
de um lado e
do outro:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A parte da esquerda será integrada em termos de
, e a parte da direita em termos de
:
Integrando, obtemos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Vamos resolver para
para encontrar a solução geral da equação. Primeiro, aplicamos a exponenciação em ambos os lados para eliminar o logaritmo natural:
Como
é uma constante positiva, podemos escrever
para representar
, simplificando para:
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituímos
e
na equação:
Resolvendo para
:
Passo 6
Finalmente, substituímos
de volta na solução geral para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: