Determine a solução do Problema de Valor Inicial d yd t=cos t y ; y(1)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é resolver a equação diferencial dydt = cos t cdot y com a condição inicial y(1) = 1. Esse tipo de problema faz parte do estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente das EDOs de primeira ordem. Para resolver, vamos usar a técnica de separação de variáveis, que nos ajuda a isolar as variáveis y e t em lados opostos da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis y e t. A equação dada é:
dydt = cos t cdot y
Podemos dividir ambos os lados por y para isolar dy/y de um lado e cos t , dt do outro:
1y , dy = cos t , dt

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A parte da esquerda será integrada em termos de y, e a parte da direita em termos de t:
integral 1y , dy = integral cos t , dt
Integrando, obtemos:
ln |y| = sin t + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 4

Vamos resolver para y para encontrar a solução geral da equação. Primeiro, aplicamos a exponenciação em ambos os lados para eliminar o logaritmo natural:
e^ln |y| = e^sin t + C implies |y| = e^sin t cdot e^C
Como e^C é uma constante positiva, podemos escrever C' para representar e^C, simplificando para:
y = C' cdot e^sin t

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial y(1) = 1 para encontrar o valor de C'. Substituímos t = 1 e y = 1 na equação:
1 = C' cdot e^sin 1
Resolvendo para C':
C' = 1e^sin 1

Passo 6

Finalmente, substituímos C' de volta na solução geral para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y = 1e^sin 1 cdot e^sin t = e^sin t - sin 1

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = e^,sin t - sin 1

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