Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando $ x $ tende a menos infinito da expressão $ \sqrt[3]{\frac{x{3}-5x+2}{3x{3}+4x^{2}+1}} $. Vamos usar conceitos de limites envolvendo funções polinomiais e propriedades de funções radicais. Para isso, precisamos identificar os termos de maior grau no numerador e denominador e simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, observamos que no numerador $ x^{3}-5x+2 $, o termo de maior grau é $ x^{3} $, e no denominador $ 3x{3}+4x{2}+1 $, o termo de maior grau também é $ 3x^{3} $. Quando $ x $ tende a menos infinito, os termos de menor grau (como $ -5x $, $ 4x^{2} $ e constantes) têm pouca influência no comportamento da função.
Passo 3
Vamos simplificar a fração dentro da raiz cúbica dividindo todos os termos por $ x^{3} $:
Passo 4
Agora, ao calcular o limite quando $ x $ tende a menos infinito, os termos que contêm $ \frac{1}{x} $, $ \frac{1}{x^{2}} $ e $ \frac{1}{x^{3}} $ vão para zero. Assim, a expressão simplifica para:
Passo 5
Então, a expressão original do limite fica: