Calcule os seguintes limites:
lim x -infty raiz[3]x^3-5 x+23 x^3+4 x^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando $ x $ tende a menos infinito da expressão $ \sqrt[3]{\frac{x{3}-5x+2}{3x{3}+4x^{2}+1}} $. Vamos usar conceitos de limites envolvendo funções polinomiais e propriedades de funções radicais. Para isso, precisamos identificar os termos de maior grau no numerador e denominador e simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, observamos que no numerador $ x^{3}-5x+2 $, o termo de maior grau é $ x^{3} $, e no denominador $ 3x{3}+4x{2}+1 $, o termo de maior grau também é $ 3x^{3} $. Quando $ x $ tende a menos infinito, os termos de menor grau (como $ -5x $, $ 4x^{2} $ e constantes) têm pouca influência no comportamento da função.

Passo 3

Vamos simplificar a fração dentro da raiz cúbica dividindo todos os termos por $ x^{3} $:
x^3

Passo 4

Agora, ao calcular o limite quando $ x $ tende a menos infinito, os termos que contêm $ \frac{1}{x} $, $ \frac{1}{x^{2}} $ e $ \frac{1}{x^{3}} $ vão para zero. Assim, a expressão simplifica para:
x

Passo 5

Então, a expressão original do limite fica:
lim x -infty raiz[3]x^3-5x+23x^3+4x^2+1 = raiz[3]13

Resposta

raiz[3]13 approx 0,693

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