Nas questões abaixo, encontre as derivadas das funções:
g(x)=(2 x+33 x)^5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a derivada da função $ g(x) = \left(\frac{2x + 3}{3x}\right)^{5} $. Vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente usando a regra da cadeia e a regra do quociente para derivar funções compostas e fracionárias.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função interna e a externa. Aqui, a função externa é algo elevado à quinta potência, e a interna é o quociente 2x + 33x. Isso significa que vamos aplicar a regra da cadeia: derivar a função externa em relação à interna e depois multiplicar pela derivada da função interna.

Passo 3

Vamos derivar a função externa. Se temos $ [u(x)]^{5} $, a derivada é $ 5 \cdot [u(x)]^{4} \cdot u’(x) $. Aqui, $ u(x) = \frac{2x + 3}{3x} $, então precisamos encontrar $ u’(x) $ depois.

Passo 4

Agora, vamos derivar $ u(x) = \frac{2x + 3}{3x} $. Para isso, usamos a regra do quociente: se $ u = \frac{f}{g} $, então $ u’ = \frac{f’g - fg’}{g^{2}} $. Aqui, $ f(x) = 2x + 3 $ e $ g(x) = 3x $.

Passo 5

Calculando as derivadas de $ f(x) $ e $ g(x) $:
  • $ f’(x) = 2 $
  • $ g’(x) = 3 $
Agora, aplicando a regra do quociente:
f(x)

Passo 6

Voltando à derivada da função externa, temos:
g'(x) = 5 cdot (2x + 33x)^4 cdot u'(x)
Substituindo $ u’(x) $ que encontramos:
u'(x)

Resposta

A derivada da função é:
g'(x) = -5x^2 cdot (2x + 33x)^4

Exercícios relacionados