Nas questões abaixo, encontre as derivadas das funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a derivada da função $ g(x) = \left(\frac{2x + 3}{3x}\right)^{5} $. Vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente usando a regra da cadeia e a regra do quociente para derivar funções compostas e fracionárias.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função interna e a externa. Aqui, a função externa é algo elevado à quinta potência, e a interna é o quociente
. Isso significa que vamos aplicar a regra da cadeia: derivar a função externa em relação à interna e depois multiplicar pela derivada da função interna.
Passo 3
Vamos derivar a função externa. Se temos $ [u(x)]^{5} $, a derivada é $ 5 \cdot [u(x)]^{4} \cdot u’(x) $. Aqui, $ u(x) = \frac{2x + 3}{3x} $, então precisamos encontrar $ u’(x) $ depois.
Passo 4
Agora, vamos derivar $ u(x) = \frac{2x + 3}{3x} $. Para isso, usamos a regra do quociente: se $ u = \frac{f}{g} $, então $ u’ = \frac{f’g - fg’}{g^{2}} $. Aqui, $ f(x) = 2x + 3 $ e $ g(x) = 3x $.
Passo 5
Calculando as derivadas de $ f(x) $ e $ g(x) $:
- $ f’(x) = 2 $
- $ g’(x) = 3 $
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 6
Voltando à derivada da função externa, temos:
Substituindo $ u’(x) $ que encontramos:
Resposta
A derivada da função é: