Determine:
integral0^pi / 2(x+a) cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^pi/2(x+a)cos x,dx
O conteúdo aqui é integral de produto, e vamos precisar usar a linearidade da integral e a técnica de integração por partes.

Passo 2

Usamos a linearidade para separar em duas integrais:
integral0^pi/2(x+a)cos x,dx = integral0^pi/2xcos x,dx + aintegral0^pi/2cos x,dx

Passo 3

Para calcular integral xcos x,dx, aplicamos integração por partes escolhendo
u = x, dv = cos x,dx,
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du = dx, v = sin x
Então
integral xcos x,dx = xsin x - integral sin x,dx = xsin x + cos x + C

Passo 4

Já sabemos que
integral cos x,dx = sin x + C

Passo 5

Combinando as duas primitivas, um antiderivado de (x+a)cos x é
F(x) = xsin x + cos x + asin x

Passo 6

Agora avaliamos nos limites de 0 a pi/2:
Fl(pi2r) = pi2sinl(pi2r) + cosl(pi2r) + asinl(pi2r) = pi2 + 0 + a = pi2+a,
F(0) = 0cdotsin0 + cos0 + asin0 = 1

Passo 7

Subtraindo, a integral definida fica
integral0^pi/2(x+a)cos x,dx = l(F(tfracpi2) - F(0)r) = l(tfracpi2+ar) - 1

Resposta

integral0^pi/2(x+a)cos x,dx = pi2 + a - 1

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