Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral definida de √(2t) de 0 até p. Isso está relacionado ao cálculo de integrais, uma parte importante do cálculo integral. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra de integração para funções com potências, além de entender como trabalhar com radicais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função √(2t) de uma forma que seja mais fácil de integrar. Sabemos que a raiz quadrada de algo é o mesmo que elevar esse algo à potência de 1/2. Então:
Passo 3
Agora, aplicamos a propriedade das potências que nos permite distribuir o expoente:
Isso facilita a integração, já que podemos tratar √2 como uma constante.
Passo 4
A integral que temos agora é:
Como √2 é constante, podemos tirá-la da integral:
Passo 5
Agora, vamos integrar $ t^{\frac{1}{2}} $. A regra de integração para potências de t diz que:
onde $ C $ é a constante de integração. No nosso caso, $ n = \frac{1}{2} $, então:
Passo 6
Aplicando isso na nossa integral:
Passo 7
Agora, substituímos os limites de integração. Primeiro com $ p $:
p
E depois com 0:
2raiz23 p^32
Subtraindo os dois valores:
2raiz23 cdot 0^32 = 0
Resposta
A integral integral0^p raiz2 t , dt é igual a 2raiz23 p^32.