integral0^p raiz2 t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral definida de √(2t) de 0 até p. Isso está relacionado ao cálculo de integrais, uma parte importante do cálculo integral. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra de integração para funções com potências, além de entender como trabalhar com radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função √(2t) de uma forma que seja mais fácil de integrar. Sabemos que a raiz quadrada de algo é o mesmo que elevar esse algo à potência de 1/2. Então:
raiz2t = (2t)^12

Passo 3

Agora, aplicamos a propriedade das potências que nos permite distribuir o expoente:
(2t)^12 = 2^12 cdot t^12 = raiz2 cdot t^12
Isso facilita a integração, já que podemos tratar √2 como uma constante.

Passo 4

A integral que temos agora é:
integral0^p raiz2 cdot t^12 , dt
Como √2 é constante, podemos tirá-la da integral:
raiz2 integral0^p t^12 , dt

Passo 5

Agora, vamos integrar $ t^{\frac{1}{2}} $. A regra de integração para potências de t diz que:
t^12
onde $ C $ é a constante de integração. No nosso caso, $ n = \frac{1}{2} $, então:
integral t^n , dt = t^n+1n+1 + C

Passo 6

Aplicando isso na nossa integral:
raiz2 cdot 23 t^32 g|0^p = 2raiz23 t^32 g|0^p

Passo 7

Agora, substituímos os limites de integração. Primeiro com $ p $:
p
E depois com 0:
2raiz23 p^32
Subtraindo os dois valores:
2raiz23 cdot 0^32 = 0

Resposta

A integral integral0^p raiz2 t , dt é igual a 2raiz23 p^32.

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