Calcule os seguintes limites:
\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{i=0}^{N} \frac{1}{1+\frac{i}{N}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N}\frac{1}{1+\frac{i}{N}}.
Informações dadas:
\text{somamos } \frac{1}{1+i/N}\text{ para }i=0,1,\dots,N,
e multiplicamos essa soma por \frac{1}{N}. O parâmetro \;N\; tende para o infinito. O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite quando N\to\infty.

Passo 2

Interpretação da soma como soma de Riemann (ideia central).
Defina a função
f(x)=\frac{1}{1+x}.
Considere uma partição uniforme do intervalo [0,1] com N subintervalos; a largura de cada subintervalo é
\Delta x=\frac{1}{N}.
Defina os pontos de amostragem
x_i=\frac{i}{N}\quad\text{para }i=0,1,\dots,N.
Então cada termo da soma pode ser escrito como f(x_i) e a soma inteira é
\frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N}\frac{1}{1+\frac{i}{N}}=\sum_{i=0}^{N} f(x_i)\,\Delta x.
Explicação didática: uma soma de Riemann tem a forma \sum f(x_i)\Delta x e é usada para aproximar a área sob a curva y=f(x) no intervalo [0,1]. Se f for contínua em [0,1] e a malha da partição ( \Delta x) for pequena, a soma aproxime bem a integral
\int_{0}^{1} f(x)\,dx.

Passo 3

Verificação da hipótese de continuidade.
A função f(x)=\dfrac{1}{1+x} é contínua em todo [0,1] porque o denominador 1+x nunca é zero naquele intervalo. Pelo teorema de convergência de somas de Riemann: se f é contínua em [0,1] então qualquer soma de Riemann uniforme com \Delta x=1/N satisfaz
\lim_{N\to\infty}\sum_{i=0}^{N} f(x_i)\,\Delta x=\int_{0}^{1} f(x)\,dx.
Portanto o limite pedido é igual à integral
\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N}\frac{1}{1+\frac{i}{N}}=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}\,dx.

Passo 4

Cálculo explícito da integral.
Vamos calcular
\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}\,dx.
Use a substituição simples u=1+x, então du=dx. Quando x=0 temos u=1 e quando x=1 temos u=2. A integral torna-se
\int_{u=1}^{2}\frac{1}{u}\,du.
A primitiva de 1/u é \ln u. Logo
\int_{1}^{2}\frac{1}{u}\,du=\bigl[\ln u\bigr]_{1}^{2}=\ln 2-\ln 1.
Como \ln 1=0, obtemos
\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}\,dx=\ln 2.

Passo 5

Observação alternativa (para intuir por comparação): como f é decrescente em [0,1], as somas de Riemann à esquerda e à direita dão limites que cercam a integral. Ambas convergem para a mesma integral quando N\to\infty, então qualquer soma que use pontos da malha (inclusive a soma com i=0 até N) também convergirá para a mesma integral \ln 2. Isso reforça a conclusão anterior.

Resposta

\ln 2

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