Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
e multiplicamos essa soma por
. O parâmetro
tende para o infinito. O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite quando
.
Passo 2
Interpretação da soma como soma de Riemann (ideia central).
Defina a função
Defina a função
Considere uma partição uniforme do intervalo
com
subintervalos; a largura de cada subintervalo é
Defina os pontos de amostragem
Então cada termo da soma pode ser escrito como
e a soma inteira é
Explicação didática: uma soma de Riemann tem a forma
e é usada para aproximar a área sob a curva
no intervalo
. Se
for contínua em
e a malha da partição (
) for pequena, a soma aproxime bem a integral
Passo 3
Verificação da hipótese de continuidade.
A função é contínua em todo
porque o denominador
nunca é zero naquele intervalo. Pelo teorema de convergência de somas de Riemann: se
é contínua em
então qualquer soma de Riemann uniforme com
satisfaz
A função
Portanto o limite pedido é igual à integral
Passo 4
Cálculo explícito da integral.
Vamos calcular
Vamos calcular
Use a substituição simples
, então
. Quando
temos
e quando
temos
. A integral torna-se
A primitiva de
é
. Logo
Como
, obtemos
Passo 5
Observação alternativa (para intuir por comparação): como
é decrescente em
, as somas de Riemann à esquerda e à direita dão limites que cercam a integral. Ambas convergem para a mesma integral quando
, então qualquer soma que use pontos da malha (inclusive a soma com
até
) também convergirá para a mesma integral
. Isso reforça a conclusão anterior.