No numerador aparecem \sqrt{x} e x^{3/2} (lembre: \sqrt{x}=x^{1/2} e x^{3/2}=x^{1 + 1/2}).
No denominador aparece \sqrt[4]{x}=x^{1/4} somado a 5.
Não há nenhuma outra condição no enunciado (por exemplo, restrição de domínio), então assumimos x próximo de 16 (positivo), onde as raízes estão bem definidas.
Passo 2
Verificar se podemos calcular o limite por substituição direta: para isso precisamos checar se o denominador ao avaliar em x=16 é diferente de zero. Calculemos \sqrt[4]{16}:
\sqrt[4]{16}=16^{1/4}=(2^4)^{1/4}=2.
Logo o denominador em x=16 vale 2+5=7, que é diferente de zero. Isso nos permite usar substituição direta porque funções do tipo x^{r} (com r racional) são contínuas para x>0 e combinações algébricas de funções contínuas (soma, produto, quociente quando o denominador é não-nulo) são contínuas.
Passo 3
Avaliar as potências que aparecem no numerador em x=16:
Explicação conceitual rápida (aula curtinha): funções do tipo x^{a} com a real são contínuas em pontos x>0. Se f e g são contínuas em a e g(a)\neq 0, então \lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f(a)}{g(a)}. Aqui f(x)=2x^{1/2}+x^{3/2} e g(x)=x^{1/4}+5 são contínuas em x=16 e g(16)=7\neq0, logo a substituição direta vale. Exemplo similar: \lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt[4]{x}+1}=\dfrac{1+1}{1+1}=1.
Passo 6
Método alternativo (útil em outros exercícios): fazer a substituição t=\sqrt[4]{x}=x^{1/4}. Então \sqrt{x}=t^{2} e x^{3/2}=t^{6}. A expressão fica
\frac{2t^{2}+t^{6}}{t+5},
e como x\to16 implica t\to2, substituindo t=2 também dá \dfrac{72}{7}. Isso mostra outra técnica quando há várias raízes de ordens diferentes.