Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 16} \frac{2 \sqrt{x}+x^{3 / 2}}{\sqrt[4]{x}+5}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x \rightarrow 16} \frac{2\sqrt{x}+x^{3/2}}{\sqrt[4]{x}+5}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável tende para x=16.
  • No numerador aparecem \sqrt{x} e x^{3/2} (lembre: \sqrt{x}=x^{1/2} e x^{3/2}=x^{1 + 1/2}).
  • No denominador aparece \sqrt[4]{x}=x^{1/4} somado a 5.
  • Não há nenhuma outra condição no enunciado (por exemplo, restrição de domínio), então assumimos x próximo de 16 (positivo), onde as raízes estão bem definidas.

Passo 2

Verificar se podemos calcular o limite por substituição direta: para isso precisamos checar se o denominador ao avaliar em x=16 é diferente de zero. Calculemos \sqrt[4]{16}:
\sqrt[4]{16}=16^{1/4}=(2^4)^{1/4}=2.
Logo o denominador em x=16 vale 2+5=7, que é diferente de zero. Isso nos permite usar substituição direta porque funções do tipo x^{r} (com r racional) são contínuas para x>0 e combinações algébricas de funções contínuas (soma, produto, quociente quando o denominador é não-nulo) são contínuas.

Passo 3

Avaliar as potências que aparecem no numerador em x=16:
\sqrt{16}=16^{1/2}=4,
x^{3/2}\Big|_{x=16}=16^{3/2}=\bigl(16^{1/2}\bigr)^{3}=4^{3}=64.

Passo 4

Calcular o numerador e o denominador em x=16:
\text{numerador}=2\sqrt{16}+16^{3/2}=2\cdot 4 + 64 = 8 + 64 = 72,
\text{denominador}=\sqrt[4]{16}+5=2+5=7.
Portanto, pelo argumento de continuidade,
\lim_{x \to 16}\frac{2\sqrt{x}+x^{3/2}}{\sqrt[4]{x}+5}=\frac{72}{7}.

Passo 5

Explicação conceitual rápida (aula curtinha): funções do tipo x^{a} com a real são contínuas em pontos x>0. Se f e g são contínuas em a e g(a)\neq 0, então \lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f(a)}{g(a)}. Aqui f(x)=2x^{1/2}+x^{3/2} e g(x)=x^{1/4}+5 são contínuas em x=16 e g(16)=7\neq0, logo a substituição direta vale. Exemplo similar: \lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt[4]{x}+1}=\dfrac{1+1}{1+1}=1.

Passo 6

Método alternativo (útil em outros exercícios): fazer a substituição t=\sqrt[4]{x}=x^{1/4}. Então \sqrt{x}=t^{2} e x^{3/2}=t^{6}. A expressão fica
\frac{2t^{2}+t^{6}}{t+5},
e como x\to16 implica t\to2, substituindo t=2 também dá \dfrac{72}{7}. Isso mostra outra técnica quando há várias raízes de ordens diferentes.

Resposta

\dfrac{72}{7}

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