Uma mistura líquida ternária contém 16 kg de metano, 25 \% em massa de etano e uma razão em quantidade de matéria de etano/propano =0,625. Calcule:
b) a composição percentual em massa; (1,5 pt.)
c) a massa molar da mistura. ( \mathbf{1 , 0} pt.)
M_{\mathrm{C}}=12 \mathrm{~kg} / \mathrm{kmol} ; M_{\mathrm{H}}=1 \mathrm{~kg} / \mathrm{kmol}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • massa de metano: m_{\mathrm{CH_4}} = 16\\ \mathrm{kg}.
    • etano corresponde a 25\% em massa da mistura (ou seja, m_{\mathrm{C_2H_6}} = 0{,}25\,M_{\text{total}}, onde M_{\text{total}} é a massa total da mistura).
    • razão em quantidade de matéria (moles): \dfrac{n_{\mathrm{C_2H_6}}}{n_{\mathrm{C_3H_8}}}=0{,}625.
    • massas atômicas fornecidas: M_{\mathrm{C}}=12\\ \mathrm{kg/kmol} e M_{\mathrm{H}}=1\\ \mathrm{kg/kmol}.
  • O que pede:
    • (b) a composição percentual em massa (percentual de cada componente na mistura);
    • (c) a massa molar da mistura (massa média molar, em \mathrm{kg/kmol}).
Observação: a mistura é ternária com componentes \mathrm{CH_4} (metano), \mathrm{C_2H_6} (etano) e \mathrm{C_3H_8} (propano). Vou usar essas notações ao longo da resolução.

Passo 2

Primeiro calculo as massas molares (massa molar = soma das massas atômicas dos átomos da molécula). Isso é importante porque relaciona massa com quantidade de matéria (moles).
  • Para \mathrm{CH_4}: M_{\mathrm{CH_4}} = 12 + 4\cdot 1 = 16\\ \mathrm{kg/kmol}.
  • Para \mathrm{C_2H_6}: M_{\mathrm{C_2H_6}} = 2\cdot 12 + 6\cdot 1 = 30\\ \mathrm{kg/kmol}.
  • Para \mathrm{C_3H_8}: M_{\mathrm{C_3H_8}} = 3\cdot 12 + 8\cdot 1 = 44\\ \mathrm{kg/kmol}.
Explicação curta: massa molar (em \mathrm{kg/kmol}) é a massa de 1 kmol da substância; por exemplo 1 kmol de \mathrm{CH_4} pesa 16\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

Vou montar as equações relacionando massas e moles usando as informações dadas.
Defino:
  • m_1 = m_{\mathrm{CH_4}} = 16\\ \mathrm{kg}.
  • m_2 = m_{\mathrm{C_2H_6}}.
  • m_3 = m_{\mathrm{C_3H_8}}.
  • M_T = M_{\text{total}} = m_1 + m_2 + m_3.
Do enunciado sabemos:
m_2 = 0{,}25\,M_T. \tag{1}
A razão em moles:
\frac{n_2}{n_3}=0{,}625,
onde n_2 = \dfrac{m_2}{M_{\mathrm{C_2H_6}}} e n_3 = \dfrac{m_3}{M_{\mathrm{C_3H_8}}}. Substituindo:
\frac{m_2/30}{m_3/44}=0{,}625.
Isso implica
\frac{m_2}{m_3}=0{,}625\cdot\frac{30}{44}.
Faço a simplificação com frações exatas: 0{,}625=\dfrac{5}{8} e \dfrac{30}{44}=\dfrac{15}{22}, então
\frac{m_2}{m_3}=\frac{5}{8}\cdot\frac{15}{22}=\frac{75}{176}.
Logo
m_2=\frac{75}{176}\,m_3. \tag{2}
Agora uso (1) e (2) junto com M_T = 16 + m_2 + m_3. Substituo m_2 por \dfrac{75}{176}m_3 em (1):
\frac{75}{176}\,m_3 = 0{,}25\left(16 + \frac{75}{176}m_3 + m_3\right).
Desenvolvendo o lado direito:
\frac{75}{176}m_3 = 4 + 0{,}25\cdot\frac{251}{176}m_3,
pois \frac{75}{176}+1=\frac{251}{176}.
Coloco os termos em m_3 no lado esquerdo:
\left(\frac{75}{176}-\frac{251}{704}\right)m_3 = 4.
Colocando mesmo denominador 704: \frac{300}{704}-\frac{251}{704}=\frac{49}{704}. Assim
\frac{49}{704}\,m_3 = 4 \quad\Rightarrow\quad m_3 = 4\cdot\frac{704}{49}=\frac{2816}{49}\\ \mathrm{kg}.
Agora obtenho m_2 usando (2):
m_2=\frac{75}{176}\,m_3=\frac{75}{176}\cdot\frac{2816}{49}=\frac{1200}{49}\\ \mathrm{kg}.
E a massa total:
M_T = 16 + \frac{1200}{49} + \frac{2816}{49} = \frac{4800}{49}\\ \mathrm{kg}.
Confirmação numérica aproximada:
  • m_1=16{,}00\\ \mathrm{kg}.
  • m_2\approx 24{,}4898\\ \mathrm{kg}.
  • m_3\approx 57{,}4694\\ \mathrm{kg}.
  • M_T\approx 97{,}9592\\ \mathrm{kg}.
    E realmente m_2/M_T=0{,}25 (checa).

Passo 4

Agora calculo a composição percentual em massa e a massa molar da mistura.
  • Composição percentual em massa: percentual do componente i é 100\cdot \dfrac{m_i}{M_T}.
Calculo frações exatas (usando as frações obtidas):
\frac{m_1}{M_T}=\frac{16}{4800/49}=\frac{16\cdot49}{4800}=\frac{784}{4800}=\frac{49}{300}=0{,}163\overline{3}.
Portanto \% em massa de \mathrm{CH_4} é 100\cdot \dfrac{49}{300}=16{,}333\ldots\%.
Para \mathrm{C_2H_6} sabemos diretamente: 25{,}0\% (dado).
A fração de \mathrm{C_3H_8} é o que resta:
\frac{m_3}{M_T}=1-\frac{49}{300}-0{,}25 = 1-\frac{49}{300}-\frac{75}{300}=\frac{176}{300}=\frac{44}{75}=0{,}586\overline{6}.
Logo \% em massa de \mathrm{C_3H_8} é 100\cdot\frac{44}{75}=58{,}666\ldots\%.
  • Massa molar da mistura M_{\text{mix}}: é a massa total dividida pelo número total de moles,
M_{\text{mix}}=\frac{M_T}{n_{\text{total}}}.
Calculo as quantidades de matéria:
n_1=\frac{m_1}{M_{\mathrm{CH_4}}}=\frac{16}{16}=1\\ \mathrm{kmol},
n_2=\frac{m_2}{30}=\frac{1200/49}{30}=\frac{40}{49}\\ \mathrm{kmol},
n_3=\frac{m_3}{44}=\frac{2816/49}{44}=\frac{64}{49}\\ \mathrm{kmol}.
Total de moles:
n_{\text{total}}=1+\frac{40}{49}+\frac{64}{49}=1+\frac{104}{49}=\frac{153}{49}\\ \mathrm{kmol}.
Então
M_{\text{mix}}=\frac{M_T}{n_{\text{total}}}=\frac{4800/49}{153/49}=\frac{4800}{153}=\frac{1600}{51}\\ \mathrm{kg/kmol}\approx 31{,}3725\\ \mathrm{kg/kmol}.
Observação pedagógica: outra forma (equivalente) é calcular a média ponderada das massas molares pelas frações molares x_i: M_{\text{mix}}=\sum x_i M_i, com x_i=n_i/n_{\text{total}}.

Resposta

(b) Composição percentual em massa: \mathrm{CH_4}=16{,}333\ldots\%, \mathrm{C_2H_6}=25{,}0\%, \mathrm{C_3H_8}=58{,}666\ldots\%
(c) Massa molar da mistura: M_{\text{mix}}=\dfrac{1600}{51}\\ \mathrm{kg/kmol}\approx 31{,}3725\\ \mathrm{kg/kmol}

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