Dada a função
i.Determine
ii.Determine o valor de
para que
seja contínua em
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função por partes:
As perguntas são:
i. Determinar
ii. Determinar o valor de para que
seja contínua em
.
i. Determinar
ii. Determinar o valor de
Informações relevantes dadas:
- A expressão válida para
próximos de (mas diferentes de ) é . Peguei essa informação do enunciado: é a definição de para . - O valor da função exatamente em
é , com desconhecido.]
Passo 2
O que significa calcular
aqui?
Por definição, esse limite depende apenas do comportamento de quando
se aproxima de
por valores distintos de
. Como o enunciado nos dá que, para todos esses
,
, temos:
Por definição, esse limite depende apenas do comportamento de
Agora vou usar propriedades básicas de limites (justificativas didáticas): a soma e o produto por constante preservam limites. Em particular:
Aqui cada símbolo significa:
-
é o limite da função constante quando se aproxima de . -
é o limite da função identidade quando se aproxima de .
Passo 3
Calculo os limites simples usados acima:
Substituindo na expressão:
Portanto o limite procurado é
.
Passo 4
Agora a parte sobre continuidade. Definição prática e usada em provas: uma função
é contínua em
se e somente se
No caso, já calculamos
. E sabemos que
(dado). Para que haja continuidade em
, é preciso que esses dois valores coincidam.
Passo 5
Igualando limite e valor da função em
:
Logo o valor necessário é
.
Passo 6
Checagem rápida (raciocínio para a prova): como a expressão usada para
próximos de
é uma reta
, que é contínua em todo lugar, o limite ao aproximar
de
é justamente o valor da reta em
(substituição direta). Para garantir continuidade da função total no ponto onde a definição muda, basta definir
igual a esse valor limite.
Resposta
i.
ii.
ii.