Dada a função
f(x)=\left\{\begin{array}{lll} 10-2 x & \text { se } & x \neq 1 \\\ k & \text { se } & x=1 \end{array}\right.
i.Determine
\lim _{x \rightarrow 1} f(x) ;
ii.Determine o valor de k para que f(x) seja contínua em x=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes:
f(x)=\begin{cases} 10-2x & \text{se } x\neq 1,\\[4pt] k & \text{se } x=1. \end{cases}
As perguntas são:
i. Determinar \displaystyle \lim_{x\to 1} f(x).
ii. Determinar o valor de k para que f seja contínua em x=1.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão válida para x próximos de 1 (mas diferentes de 1) é \,10-2x. Peguei essa informação do enunciado: é a definição de f(x) para x\neq 1.
  • O valor da função exatamente em x=1 é \,f(1)=k, com k desconhecido.]

Passo 2

O que significa calcular \displaystyle \lim_{x\to 1} f(x) aqui?
Por definição, esse limite depende apenas do comportamento de f(x) quando x se aproxima de 1 por valores distintos de 1. Como o enunciado nos dá que, para todos esses x, f(x)=10-2x, temos:
\lim_{x\to 1} f(x)=\lim_{x\to 1} (10-2x).
Agora vou usar propriedades básicas de limites (justificativas didáticas): a soma e o produto por constante preservam limites. Em particular:
\lim_{x\to 1} (10-2x)=\lim_{x\to 1} 10 \;-\; 2\lim_{x\to 1} x.
Aqui cada símbolo significa:
  • \lim_{x\to 1} 10 é o limite da função constante 10 quando x se aproxima de 1.
  • \lim_{x\to 1} x é o limite da função identidade x quando x se aproxima de 1.

Passo 3

Calculo os limites simples usados acima:
\lim_{x\to 1} 10 = 10, \qquad \lim_{x\to 1} x = 1.
Substituindo na expressão:
\lim_{x\to 1} (10-2x)=10-2\cdot 1=10-2=8.
Portanto o limite procurado é \,8.

Passo 4

Agora a parte sobre continuidade. Definição prática e usada em provas: uma função f é contínua em x=1 se e somente se
\lim_{x\to 1} f(x)=f(1).
No caso, já calculamos \displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)=8. E sabemos que f(1)=k (dado). Para que haja continuidade em x=1, é preciso que esses dois valores coincidam.

Passo 5

Igualando limite e valor da função em 1:
k=f(1)=\lim_{x\to 1} f(x)=8.
Logo o valor necessário é k=8.

Passo 6

Checagem rápida (raciocínio para a prova): como a expressão usada para x próximos de 1 é uma reta \,10-2x, que é contínua em todo lugar, o limite ao aproximar x de 1 é justamente o valor da reta em 1 (substituição direta). Para garantir continuidade da função total no ponto onde a definição muda, basta definir k igual a esse valor limite.

Resposta

i. \displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)=8
ii. k=8

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