Determine os seguintes limites:
\lim _{z \rightarrow 1-i}\left(|z|^{2}-i \bar{z}\right).

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de uma variável complexa \;f(z)=|z|^{2}-i\,\overline{z}\;
quando z\to1-i. O conteúdo é cálculo de limite por continuidade de operações básicas (módulo, conjugação e combinações lineares).

Passo 2

Sabendo que as operações z\mapsto|z|^{2} e z\mapsto\overline{z} são contínuas em \mathbb{C}, e que f é combinação linear delas, conclui-se que
\lim_{z\to1-i}f(z) =\;|1-i|^{2}-i\,\overline{(1-i)}
por substituição direta.

Passo 3

Calcular o quadrado do módulo de 1-i:
|1-i|^{2} =1^{2}+(-1)^{2} =2.

Passo 4

Calcular o conjugado de 1-i:
\overline{(1-i)} =1+i.

Passo 5

Substituindo em f:
|1-i|^{2}-i\,(1+i) =2 - i - i^{2} =2 - i +1 =3 - i.

Resposta

\displaystyle 3 - i

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