Determine os seguintes limites:
\lim _{z \rightarrow 2 i}\left(z^{2}-\bar{z}\right).

Passo 1

O enunciado pede o valor de \displaystyle \lim_{z\to2i}\bigl(z^{2}-\overline{z}\bigr).
O conteúdo aqui é limite de função de variável complexa, usando a continuidade de polinômios e da conjugação.

Passo 2

Como z\mapsto z^{2} e z\mapsto\overline{z} são funções contínuas em \mathbb{C}, a combinação \displaystyle f(z)=z^{2}-\overline{z}
também é contínua. Logo
\lim_{z\to2i}f(z)=f(2i)\,.

Passo 3

Calculamos
(2i)^{2}=-4.

Passo 4

Calculamos
\overline{2i}=-2i.

Passo 5

Substituindo em f(2i)= (2i)^{2}-\overline{2i}, obtemos
f(2i)=-4-(-2i)=-4+2i.

Resposta

\lim_{z\to2i}\bigl(z^{2}-\overline{z}\bigr)=-4+2i.

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