Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+3 x)^{2}-(1+2 x)^{3}}{x^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to0}\frac{(1+3x)^{2} - (1+2x)^{3}}{x^{2}}.
Para isso, vamos usar a expansão binomial de cada potência e depois simplificar o quociente.

Passo 2

Expandindo (1+3x)^{2} pelo binômio de Newton, temos
(1+3x)^{2} = 1 + 2\cdot3x + (3x)^{2} = 1 + 6x + 9x^{2}.

Passo 3

Expandindo (1+2x)^{3} pelo binômio de Newton, obtemos
(1+2x)^{3} = 1 + 3\cdot2x + 3\,(2x)^{2} + (2x)^{3} = 1 + 6x + 12x^{2} + 8x^{3}.

Passo 4

Subtraindo as expansões para formar o numerador:
(1+3x)^{2} - (1+2x)^{3} = \bigl(1 + 6x + 9x^{2}\bigr) - \bigl(1 + 6x + 12x^{2} + 8x^{3}\bigr) = -3x^{2} - 8x^{3}.

Passo 5

Dividindo pelo denominador x^{2}:
\frac{-3x^{2} - 8x^{3}}{x^{2}} = -3 - 8x.

Passo 6

Fazendo x\to0 em -3 - 8x resulta em -3.

Resposta

-3

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