Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)(1+2 x)(1+3 x) \ldots(1+n x)-1}{x}\

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to0}\frac{(1+x)(1+2x)\cdots(1+nx)-1}{x}
Isso é uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Vamos usar o fato de que, para x pequeno, a expansão de um produto \prod_{k=1}^n(1+kx) se dá a primeira ordem por 1+\sum_{k=1}^n kx.

Passo 2

Defina
P(x)=\prod_{k=1}^n(1+kx).
Como P(0)=1, podemos escrever a expansão para x\to0 até ordem linear em x:
P(x)=1+\Bigl(\sum_{k=1}^n k\Bigr)\,x+o(x).

Passo 3

Substituindo em
\frac{P(x)-1}{x}
temos
\frac{P(x)-1}{x} =\frac{\bigl(\sum_{k=1}^n k\bigr)x+o(x)}{x} =\sum_{k=1}^n k+\frac{o(x)}{x}.
Como \lim_{x\to0}\tfrac{o(x)}{x}=0, o limite fica \sum_{k=1}^n k.

Passo 4

Basta calcular a soma dos primeiros n inteiros:
\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}.

Resposta

\frac{n(n+1)}{2}.

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