Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{5}-(1+5 x)}{x^{2}+x^{5}}\

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^{5} - \bigl(1+5x\bigr)}{x^{2}+x^{5}}.
Para resolver isso, vamos usar a expansão binomial de (1+x)^{5} e depois fatorar potências de x para simplificar a fração antes de calcular o limite.

Passo 2

Aplicamos a fórmula do binômio de Newton para expandir (1+x)^{5}:
(1+x)^{5} = 1 + 5x + 10x^{2} + 10x^{3} + 5x^{4} + x^{5}.

Passo 3

Substituímos essa expansão no numerador:
(1+x)^{5} - \bigl(1+5x\bigr) = \bigl(1 + 5x + 10x^{2} + 10x^{3} + 5x^{4} + x^{5}\bigr) - \bigl(1+5x\bigr) = 10x^{2} + 10x^{3} + 5x^{4} + x^{5}.

Passo 4

Escrevemos a fração completa e fatoramos x^{2} no numerador e denominador:
\frac{10x^{2} + 10x^{3} + 5x^{4} + x^{5}}{x^{2} + x^{5}} = \frac{x^{2}\bigl(10 + 10x + 5x^{2} + x^{3}\bigr)}{x^{2}\bigl(1 + x^{3}\bigr)} = \frac{10 + 10x + 5x^{2} + x^{3}}{1 + x^{3}}.

Passo 5

Agora basta avaliar o limite quando x\to0:
\lim_{x\to0}\frac{10 + 10x + 5x^{2} + x^{3}}{1 + x^{3}} = \frac{10 + 10\cdot0 + 5\cdot0^{2} + 0^{3}}{1 + 0^{3}} = \frac{10}{1} = 10.

Resposta

10

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