Calcule os seguintes limites :
  1. \lim _{x \rightarrow-1} \frac{4 x^{3}+2 x-1}{1+2 x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to-1}\frac{4x^{3}+2x-1}{1+2x}.
Informações dadas: a função no numerador é o polinômio 4x^{3}+2x-1 e o denominador é a função linear 1+2x. O ponto de interesse é x=-1. Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Primeiro passo prático: verificar se podemos aplicar substituição direta. Para isso precisamos checar se o denominador é zero em x=-1. Calculo:
1+2(-1)=1-2=-1.
Como -1\neq0, o denominador não é zero em x=-1.
Explicação didática sobre por que isso importa: razões racionais do tipo \dfrac{\text{polinômio}}{\text{polinômio}}ôô são funções contínuas em todos os pontos onde o denominador é não nulo. Para funções contínuas, o limite quando x tende a um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto — ou seja, podemos calcular o limite por substituição direta, desde que o denominador não anule.

Passo 3

Agora calculamos o numerador em x=-1. Fazer passo a passo:
4(-1)^{3}+2(-1)-1 = 4\cdot(-1)+(-2)-1.
Calcule cada termo:
4\cdot(-1)=-4,\quad -2\\ \text{já é}\\\ -2,\quad -1\\ \text{é}\\\ -1.áéé
Somando:
-4+(-2)+(-1)=-4-2-1=-7.
Portanto o numerador em x=-1 vale -7.

Passo 4

Como o numerador vale -7 e o denominador vale -1, podemos aplicar substituição direta e obter:
\lim_{x\to-1}\frac{4x^{3}+2x-1}{1+2x}=\frac{-7}{-1}.
Simplificando a fração \dfrac{-7}{-1}: ambos sinais negativos se cancelam, então o resultado é 7. Conclusão final: o limite existe e é igual a 7.

Resposta

7

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