Calcule os seguintes limites :
m. \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-1}{x^{2}-2 x+2}

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-1}{x^{2}-2x+2}. Esse exercício faz parte do estudo de limites em cálculo, que nos ajuda a entender o comportamento de funções perto de certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar calcular o valor que a expressão \frac{x^{2}-1}{x^{2}-2x+2} se aproxima quando x se aproxima de 2.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente x = 2 na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite de forma simples. Substituindo x por 2:
\frac{(2)^{2} - 1}{(2)^{2} - 2 \cdot 2 + 2} = \frac{4 - 1}{4 - 4 + 2} = \frac{3}{2}

Passo 3

Ao substituir x = 2, a expressão resulta em \frac{3}{2}, que é um número definido. Isso significa que o limite não apresenta indeterminação como 0/0 ou \infty/\infty, e podemos concluir que o limite existe e é igual a esse valor.

Resposta

\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-1}{x^{2}-2x+2} = \frac{3}{2}

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