Considere f, g e h funções tais que \lim _{x \rightarrow 2} f(x)=-1, \lim _{x \rightarrow 2} g(x)=2 e \lim _{x \rightarrow 2} h(x)=3. Usando essas informações e as propriedades de limites, calcule :
a. \lim _{x \rightarrow 2}(f(x)+g(x)-h(x))

Passo 1

O enunciado dá três limites e pede um limite envolvendo soma e subtração. Dados relevantes:
\lim_{x\to 2} f(x) = -1,
\lim_{x\to 2} g(x) = 2,
\lim_{x\to 2} h(x) = 3.
Pergunta: calcular
\lim_{x\to 2}\bigl(f(x)+g(x)-h(x)\bigr).

Passo 2

Vou usar propriedades básicas de limites: se duas funções u(x) e v(x) têm limites finitos quando x\to a, então a soma e a diferença também têm limite e valem as somas e diferenças dos limites. Formalmente:
\lim_{x\to a}\bigl(u(x)+v(x)\bigr)=\lim_{x\to a}u(x)+\lim_{x\to a}v(x),
\lim_{x\to a}\bigl(u(x)-v(x)\bigr)=\lim_{x\to a}u(x)-\lim_{x\to a}v(x).
Aqui u(x) e v(x) representam quaisquer funções com limites existentes; as letras u,v,a são só símbolos: u(x) é a função cujo limite é \lim_{x\to a}u(x), etc. A hipótese necessária é que os limites individuais existam e sejam finitos — e no nosso enunciado isso foi dado.

Passo 3

Aplico as propriedades ao nosso caso. Primeiro trato a soma f(x)+g(x) e depois subtraio h(x):
\lim_{x\to 2}\bigl(f(x)+g(x)-h(x)\bigr) = \lim_{x\to 2}\bigl(f(x)+g(x)\bigr) - \lim_{x\to 2}h(x).
Pela propriedade da soma:
\lim_{x\to 2}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=\lim_{x\to 2}f(x)+\lim_{x\to 2}g(x).
Substituindo os valores dados:
\lim_{x\to 2}\bigl(f(x)+g(x)-h(x)\bigr) = \bigl(\lim_{x\to 2}f(x)+\lim_{x\to 2}g(x)\bigr)-\lim_{x\to 2}h(x) = (-1)+2-3.

Passo 4

Faço a conta passo a passo (sem pular):
(-1)+2 = 1,
1-3 = -2.

Passo 5

Interpretação rápida para checar: se f,g,h fossem funções constantes com os limites dados (por exemplo f(x)=-1,\;g(x)=2,\;h(x)=3), a expressão f+g-h seria identicamente -2, consistente com o cálculo acima. Isso dá confiança de que a aplicação das propriedades foi correta.

Resposta

-2

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