Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{4 x{3}+x{2}+3}{x^{5}+1}

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto -14x^3 + x^2 + 3x^5 + 1
O conteúdo é limite de razão de polinômios que gera indeterminação do tipo 0/0. Para resolver, vamos usar fatoração e simplificação.

Passo 2

Substituindo x=-1 diretamente, o numerador e o denominador valem
4(-1)^3 + (-1)^2 + 3 = -4 +1 +3 = 0,
(-1)^5 + 1 = -1 + 1 = 0,
logo é uma indeterminação 0/0.

Passo 3

Fatoramos o denominador usando a soma de quinta potência:
x^5 + 1 = (x + 1)l(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1r)

Passo 4

Fatoramos o numerador dividindo 4x^3 + x^2 + 3 por (x+1) (por exemplo, via divisão sintética) e obtemos
4x^3 + x^2 + 3 = (x+1),(4x^2 - 3x + 3)

Passo 5

Ao simplificar o fator comum (x+1), temos
limxto -14x^3 + x^2 + 3x^5 + 1 = limxto -14x^2 - 3x + 3x^4 - x^3 + x^2 - x + 1
Agora substituímos x=-1:
o numerador fica 4cdot1 - 3cdot(-1) + 3 = 4 + 3 + 3 = 10 e
o denominador fica
(-1)^4 -(-1)^3 +(-1)^2 -(-1) +1 = 1 +1 +1 +1 +1 = 5
Portanto o limite vale tfrac105=2.

Resposta

2

Exercícios relacionados