Encontre ơ limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hispital não se aplicar, explique o porquê.
lim x 0^+(tan (3 x))^x

Passo 1

O enunciado pede
limxto0^+(tan(3x))^x
Note que, à medida que xto0^+, temos tan(3x)sim3xto0 e o expoente xto0, de modo que a expressão é da forma indeterminada 0^0. Para resolver, vamos usar a técnica usual de reescrever a potência como exponencial e, em seguida, aplicar L’Hôspital ao expoente.

Passo 2

Defina
f(x)=(tan(3x))^x Longrightarrow f(x)=expl(xln(tan(3x))r)
Assim
limxto0^+f(x) =exp!l(limxto0^+xln(tan(3x))r)
Chame
L1=limxto0^+xln(tan(3x))
Percebemos que xto0 e ln(tan(3x))to-infty, gerando a forma indeterminada 0cdot(-infty). Para usar L’Hôspital, reescreva
L1 =limxto0^+ln(tan(3x))1/x,
que é da forma -infty+infty.

Passo 3

Aplique L’Hôspital diferenciando numerador e denominador:
  • Numerador:
ddxln(tan(3x)) =1tan(3x)cdotddxtan(3x) =3sec^2(3x)tan(3x)
  • Denominador:
ddxl(1/xr) =-1x^2
Logo, pela regra de L’Hôspital,
L1 =limxto0^+3sec^2(3x)tan(3x)-1/x^2 =-limxto0^+3x^2sec^2(3x)tan(3x)
Como sec^2(3x)to1 e tan(3x)sim3x, obtemos
L1 =-limxto0^+3x^23x =-limxto0^+x =0

Passo 4

Voltando à função original,
limxto0^+(tan(3x))^x =exp(L1) =exp(0) =1

Resposta

1

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