Encontre ơ limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hispital não se aplicar, explique o porquê.
lim x -2 (x^3+8)(x+3)(x+4)(x+5)(x+2)(x-1)(x-2)(x-3)

Passo 1

O enunciado pede
limxto -2(x^3+8)(x+3)(x+4)(x+5)(x+2)(x-1)(x-2)(x-3)
Substituindo x=-2 vemos que x^3+8=(-8+8)=0 e que o denominador também zera (pois contém x+2), então temos a forma indeterminada tfrac00. Em vez de aplicar diretamente a Regra de l’Hôpital, vamos usar um método mais elementar: fatorar e simplificar.

Passo 2

Reconhecemos que
x^3+8 = x^3 + 2^3
é uma soma de cubos, cuja fatoração é
x^3+2^3 = (x+2)l(x^2 - 2x + 4r)

Passo 3

Substituindo essa fatoração na expressão original, temos
(x^3+8)(x+3)(x+4)(x+5)(x+2)(x-1)(x-2)(x-3) = (x+2)l(x^2-2x+4r)(x+3)(x+4)(x+5)(x+2)(x-1)(x-2)(x-3)
Cancelamos o fator comum (x+2), obtendo a forma simplificada
(x^2-2x+4)(x+3)(x+4)(x+5)(x-1)(x-2)(x-3)

Passo 4

Agora podemos simplesmente substituir x=-2 na expressão simplificada. Calculamos cada parte:
x^2 - 2x + 4 em x=-2
(-2)^2 - 2(-2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
Os fatores lineares são
(x+3)|x=-2 = 1, (x+4)|x=-2 = 2, (x+5)|x=-2 = 3,
logo o numerador é
12 times 1 times 2 times 3 = 72
No denominador,
(x-1)|x=-2 = -3, (x-2)|x=-2 = -4, (x-3)|x=-2 = -5,
portanto o denominador é
(-3)times(-4)times(-5) = -60
Assim o limite vale
72-60 = -65

Resposta

-65

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