Calcule os seguintes limites:
b) \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+3 x-10}{3 x^{2}-5 x-2}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to2}\frac{x^{2}+3x-10}{3x^{2}-5x-2}.
O conteúdo aqui é limite de uma função racional que, ao substituirmos x=2, dá forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar fatoração e cancelamento de fatores comuns.

Passo 2

Primeiro, tentamos substituir diretamente x=2:
\text{numerador} = 2^{2}+3\cdot2-10 = 4+6-10 = 0,
\text{denominador} = 3\cdot2^{2}-5\cdot2-2 = 12-10-2 = 0.
Como obtemos 0/0, é indeterminado, então precisamos fatorar numerador e denominador.

Passo 3

Fatoramos cada polinômio:
x^{2}+3x-10 = (x-2)(x+5),
3x^{2}-5x-2 = (x-2)(3x+1).

Passo 4

Substituindo na função original, temos
\frac{x^{2}+3x-10}{3x^{2}-5x-2} = \frac{(x-2)(x+5)}{(x-2)(3x+1)}.
Cancelamos o fator comum (x-2) (válido para x\neq2), restando
\frac{x+5}{3x+1}.
Agora aplicamos x\to2 nessa expressão simplificada.

Passo 5

Fazendo x=2 em \frac{x+5}{3x+1}, obtemos
\frac{2+5}{3\cdot2+1} = \frac{7}{7} = 1.

Resposta

1

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