Calcule os seguintes limites:
a) \lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{3}+1}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to -1}\frac{x^{3}+1}{x^{2}-1}.
Esse é um problema de limites envolvendo indeterminação do tipo 0/0. Para resolver, vamos usar fatoração de polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Verificamos o valor direto em x=-1:
(-1)^{3}+1 = -1+1 = 0, \quad (-1)^{2}-1 = 1-1 = 0,
logo obtemos 0/0, que é uma forma indefinida. Precisamos fatorar para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Fatoramos o numerador e o denominador:
x^{3}+1 = (x+1)(x^{2}-x+1), \quad x^{2}-1 = (x+1)(x-1).
Substituindo na fração:
\frac{x^{3}+1}{x^{2}-1} = \frac{(x+1)(x^{2}-x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^{2}-x+1}{x-1},\quad x\neq -1.

Passo 4

Agora o limite é contínuo na forma simplificada, então avaliamos em x=-1:
\lim_{x\to -1}\frac{x^{2}-x+1}{x-1} = \frac{(-1)^{2}-(-1)+1}{-1-1} = \frac{1+1+1}{-2} = \frac{3}{-2} = -\tfrac{3}{2}.

Resposta

-\tfrac{3}{2}

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