Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ; f(x)=3+x. Demonstre, utilizando a definição de limite, que \lim _{x \rightarrow 10} f(x)=13.

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=3+x e pede para demonstrar, usando a definição de limite, que \lim_{x\to 10} f(x)=13.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=3+x.
  • O ponto de interesse é x\to 10.
  • O valor proposto do limite é 13.
O que precisamos mostrar, em linguagem formal: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<|x-10|<\delta, então |f(x)-13|<\varepsilon.

Passo 2

Recordando a definição de limite (epsilon-delta) de forma bem didática:
  • A afirmação “ \lim_{x\to 10} f(x)=13” significa: para todo número pequeno e positivo \varepsilon (que representa o quanto aceitamos de erro no valor da função), devemos ser capazes de encontrar outro número positivo \delta (que representa quão perto de 10 precisamos tomar x) tal que sempre que x estiver dentro de \delta de 10 (mas diferente de 10), o valor f(x) estará dentro de \varepsilon de 13.
  • Em símbolos: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tais que
0<|x-10|<\delta \quad\Rightarrow\quad |f(x)-13|<\varepsilon.
Aqui \varepsilon e \delta são positivos; \varepsilon é dado arbitrariamente e a tarefa é construir um \delta em função de \varepsilon.

Passo 3

Calculemos a diferença entre f(x) e 13 para ver como escolher \delta:
|f(x)-13| = |(3+x)-13| = |x-10|.
Explicação passo a passo:
  • Substituiu-se f(x) por 3+x.
  • Subtraiu-se 13: 3+x-13 = x-10.
  • Tomou-se o valor absoluto, ficando |x-10|.
Portanto a condição |f(x)-13|<\varepsilon é exatamente a condição |x-10|<\varepsilon.

Passo 4

Escolha de \delta. A partir da igualdade anterior, uma escolha natural e suficiente é
\delta=\varepsilon.
Verificação formal:
  • Seja qualquer \varepsilon>0.
  • Defina \delta=\varepsilon (portanto \delta>0).
  • Se 0<|x-10|<\delta, então, usando o cálculo do passo anterior,
|f(x)-13| = |x-10| < \delta = \varepsilon.
Isso satisfaz exatamente a condição exigida pela definição de limite: dado \varepsilon>0 encontrei um \delta>0 (neste caso \delta=\varepsilon) que garante |f(x)-13|<\varepsilon sempre que 0<|x-10|<\delta.

Passo 5

Intuição e exemplo numérico curto para fixar:
  • A função f(x)=x+3 é uma reta com inclinação 1. Quando x se aproxima de 10 por uma quantidade |x-10|, o valor da função se aproxima de 13 pela mesma quantidade, porque a reta desloca tudo em +3.
  • Exemplo: se escolher \varepsilon=0,1, então tomando \delta=0,1 temos que, quando |x-10|<0,1, automaticamente |f(x)-13|=|x-10|<0,1. Isso ilustra concretamente a escolha \delta=\varepsilon.
Com a construção acima, a condição da definição de limite é satisfeita para todo \varepsilon>0, o que completa a demonstração pelo critério epsilon-delta.

Resposta

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