Seja
. Demonstre, utilizando a definição de limite, que
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para demonstrar, usando a definição de limite, que
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O ponto de interesse é
. - O valor proposto do limite é
.
O que precisamos mostrar, em linguagem formal: para todo
existe
tal que, se
, então
.
Passo 2
Recordando a definição de limite (epsilon-delta) de forma bem didática:
- A afirmação “
” significa: para todo número pequeno e positivo (que representa o quanto aceitamos de erro no valor da função), devemos ser capazes de encontrar outro número positivo (que representa quão perto de precisamos tomar ) tal que sempre que estiver dentro de de (mas diferente de ), o valor estará dentro de de . - Em símbolos: para todo
existe tais que
Aqui
e
são positivos;
é dado arbitrariamente e a tarefa é construir um
em função de
.
Passo 3
Calculemos a diferença entre
e
para ver como escolher
:
Explicação passo a passo:
- Substituiu-se
por . - Subtraiu-se
: . - Tomou-se o valor absoluto, ficando
.
Portanto a condição
é exatamente a condição
.
Passo 4
Escolha de
. A partir da igualdade anterior, uma escolha natural e suficiente é
Verificação formal:
- Seja qualquer
. - Defina
(portanto ). - Se
, então, usando o cálculo do passo anterior,
Isso satisfaz exatamente a condição exigida pela definição de limite: dado
encontrei um
(neste caso
) que garante
sempre que
.
Passo 5
Intuição e exemplo numérico curto para fixar:
- A função
é uma reta com inclinação . Quando se aproxima de por uma quantidade , o valor da função se aproxima de pela mesma quantidade, porque a reta desloca tudo em . - Exemplo: se escolher
, então tomando temos que, quando , automaticamente . Isso ilustra concretamente a escolha .
Com a construção acima, a condição da definição de limite é satisfeita para todo
, o que completa a demonstração pelo critério epsilon-delta.