Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1}\

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1}.
O conteúdo é cálculo de limite de forma indeterminada \tfrac{0}{0}, e podemos usar a regra de L’Hôpital ou séries de Taylor para resolver.

Passo 2

Verificamos que, ao substituir x=0, o numerador fica \sqrt{1+0}-1=0 e o denominador fica \sqrt[3]{1+0}-1=0. Logo é uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}, cabendo aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

Calculamos as derivadas de numerador e denominador:
  • Derivada do numerador:
\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{1+x}-1\bigr) =\frac{1}{2\sqrt{1+x}}.
  • Derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt[3]{1+x}-1\bigr) =\frac{1}{3(1+x)^{2/3}}.

Passo 4

Pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1} =\lim_{x\to0}\frac{\tfrac{1}{2\sqrt{1+x}}}{\tfrac{1}{3(1+x)^{2/3}}} =\lim_{x\to0}\frac{3(1+x)^{2/3}}{2\sqrt{1+x}} =\frac{3\cdot1^{2/3}}{2\cdot1} =\frac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

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