Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{\sqrt{x^{2}-2 x+6}-\sqrt{x^{2}+2 x-6}}{x^{2}-4 x+3}\

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to3}\frac{\sqrt{x^{2}-2x+6}-\sqrt{x^{2}+2x-6}}{x^{2}-4x+3}.
Este é um caso de forma indeterminada 0/0, e vamos usar a técnica de racionalização do numerador para simplificar a expressão.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada substituindo x=3:
\sqrt{3^{2}-2\cdot3+6}-\sqrt{3^{2}+2\cdot3-6} =\sqrt{9-6+6}-\sqrt{9+6-6}=3-3=0,
e
3^{2}-4\cdot3+3=9-12+3=0.
Logo, temos 0/0.

Passo 3

Racionalizamos o numerador multiplicando e dividindo pela conjugada:
\frac{\sqrt{x^{2}-2x+6}-\sqrt{x^{2}+2x-6}}{x^{2}-4x+3} \cdot \frac{\sqrt{x^{2}-2x+6}+\sqrt{x^{2}+2x-6}} {\sqrt{x^{2}-2x+6}+\sqrt{x^{2}+2x-6}}.
No numerador aparece a diferença de quadrados:
(\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B})=A-B,
com A=x^{2}-2x+6 e B=x^{2}+2x-6. Assim,
A-B=(x^{2}-2x+6)-(x^{2}+2x-6)=-4x+12=4(3-x).

Passo 4

Substituindo e fatorando o denominador x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3), temos
\frac{4(3-x)}{(x-1)(x-3)\bigl(\sqrt{x^{2}-2x+6}+\sqrt{x^{2}+2x-6}\bigr)} =\frac{-4(x-3)}{(x-3)(x-1)\bigl(\sqrt{x^{2}-2x+6}+\sqrt{x^{2}+2x-6}\bigr)}.
Cancelando o fator comum (x-3), a expressão simplificada é
\frac{-4}{(x-1)\bigl(\sqrt{x^{2}-2x+6}+\sqrt{x^{2}+2x-6}\bigr)}.

Passo 5

Agora calculamos o limite de x\to3 na forma simplificada:
\lim_{x\to3}\frac{-4}{(x-1)\bigl(\sqrt{x^{2}-2x+6}+\sqrt{x^{2}+2x-6}\bigr)} =\frac{-4}{(3-1)\bigl(3+3\bigr)} =\frac{-4}{2\cdot6} =-\frac{1}{3}.

Resposta

-\displaystyle \frac{1}{3}

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