Calcule os seguintes limites
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{x+h}-\sqrt[3]{x}}{h} \quad(x \neq 0)\

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
L = \lim_{h\to0} \frac{\sqrt[3]{x+h} - \sqrt[3]{x}}{h}
para x\neq0. O conteúdo usado aqui é a derivada da função f(t)=\sqrt[3]{t} ou, alternativamente, a racionalização do numerador via diferença de cubos.

Passo 2

Defina
a = \sqrt[3]{x+h}, \quad b = \sqrt[3]{x}.
Então
a^3 - b^3 = (x+h) - x = h
e, pela identidade de diferença de cubos,
a^3 - b^3 = (a - b)\,(a^2 + ab + b^2).
Dessarte,
a - b = \frac{h}{a^2 + ab + b^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\sqrt[3]{x+h} - \sqrt[3]{x}}{h} = \frac{a - b}{h} = \frac{1}{a^2 + ab + b^2}.

Passo 3

Quando h\to0, temos a\to b = \sqrt[3]{x}. Logo
\lim_{h\to0} \frac{\sqrt[3]{x+h} - \sqrt[3]{x}}{h} = \frac{1}{b^2 + b\cdot b + b^2} = \frac{1}{3\,b^2} = \frac{1}{3\,(\sqrt[3]{x})^2} = \frac{1}{3\,x^{2/3}}.

Resposta

\frac{1}{3\,x^{2/3}}.

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