Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas: é uma função racional (quociente de polinômios) com numerador
e denominador
. As potências mais altas em numerador e denominador são
. Não há outras perguntas: só calcular esse limite.
Passo 2
Estratégia escolhida (explico por que): quando
cresce muito (vai para
), os termos de menor grau (como
ou constantes) tornam-se desprezíveis frente aos termos de maior grau (
aqui). Uma técnica simples e segura é dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente, que é
. Isso deixa explícito o comportamento dos termos quando
.
Passo 3
Conceito importante que vou usar: para qualquer inteiro positivo
,
Intuição: conforme
aumenta muito,
fica enorme, então sua recíproca tende a zero. Esse fato permite descartar termos como
ou
no limite.
Passo 4
Agora divido numerador e denominador por
. Escrevo a expressão como
Faço as divisões dentro do numerador e do denominador:
Portanto a fração fica
Passo 5
Aplico o limite agora, usando que
e
(pelo conceito do Passo 3). Assim os limites das partes são
Passo 6
Teorema usado: se
e
com
, então
No nosso caso
e
, então podemos tomar o quociente dos limites.
Passo 7
Concluo que
Observação rápida (regra prática): para limites de funções racionais quando os graus dos polinômios no numerador e no denominador são iguais, o limite no infinito é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui
e
) — isso é exatamente o que aconteceu.