Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^{3}-2 x}{4 x^{3}+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{3}-2x}{4x^{3}+1}.
Informações dadas: é uma função racional (quociente de polinômios) com numerador 3x^{3}-2x e denominador 4x^{3}+1. As potências mais altas em numerador e denominador são x^{3}. Não há outras perguntas: só calcular esse limite.

Passo 2

Estratégia escolhida (explico por que): quando x cresce muito (vai para \infty), os termos de menor grau (como x ou constantes) tornam-se desprezíveis frente aos termos de maior grau ( x^{3} aqui). Uma técnica simples e segura é dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente, que é x^{3}. Isso deixa explícito o comportamento dos termos quando x\to\infty.

Passo 3

Conceito importante que vou usar: para qualquer inteiro positivo k,
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{k}}=0.
Intuição: conforme x aumenta muito, x^{k} fica enorme, então sua recíproca tende a zero. Esse fato permite descartar termos como \frac{2}{x^{2}} ou \frac{1}{x^{3}} no limite.

Passo 4

Agora divido numerador e denominador por x^{3}. Escrevo a expressão como
\frac{3x^{3}-2x}{4x^{3}+1} = \frac{\dfrac{3x^{3}-2x}{x^{3}}}{\dfrac{4x^{3}+1}{x^{3}}}.
Faço as divisões dentro do numerador e do denominador:
\frac{3x^{3}-2x}{x^{3}}=3-\frac{2x}{x^{3}}=3-\frac{2}{x^{2}},
\frac{4x^{3}+1}{x^{3}}=4+\frac{1}{x^{3}}.
Portanto a fração fica
\frac{3-\dfrac{2}{x^{2}}}{4+\dfrac{1}{x^{3}}}.

Passo 5

Aplico o limite agora, usando que \lim_{x\to\infty}\dfrac{2}{x^{2}}=0 e \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x^{3}}=0 (pelo conceito do Passo 3). Assim os limites das partes são
\lim_{x\to\infty}\left(3-\frac{2}{x^{2}}\right)=3-0=3,
\lim_{x\to\infty}\left(4+\frac{1}{x^{3}}\right)=4+0=4.

Passo 6

Teorema usado: se \lim_{x\to\infty} f(x)=L e \lim_{x\to\infty} g(x)=M com M\neq 0, então
\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}.
No nosso caso L=3 e M=4\neq 0, então podemos tomar o quociente dos limites.

Passo 7

Concluo que
\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{3}-2x}{4x^{3}+1}=\frac{3}{4}.
Observação rápida (regra prática): para limites de funções racionais quando os graus dos polinômios no numerador e no denominador são iguais, o limite no infinito é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui 3 e 4) — isso é exatamente o que aconteceu.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{4}

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