Crescimento Bacteriano: A população de bactérias é dada por P(t)=\frac{1000 t}{t+1}, onde t é o tempo em horas. Calcule:
\lim _{t \rightarrow \infty} P(t) - Qual é a população máxima?

Passo 1

O enunciado dá a população de bactérias em função do tempo t (horas) pela expressão
P(t)=\frac{1000\,t}{t+1}.
As perguntas são:
  1. Calcular \lim_{t\rightarrow\infty} P(t).
  2. Determinar qual é a população máxima (ou seja, o maior valor que P(t) atinge ou tende a atingir).
Todos os dados relevantes estão acima: a fórmula de P(t) e que t representa tempo em horas (logo tipicamente t\ge 0).

Passo 2

Primeiro vamos calcular o limite \lim_{t\rightarrow\infty} P(t). Uma técnica simples para limites de funções racionais quando t\to\infty é dividir numerador e denominador pela maior potência de t presente (aqui é t). Faço isso para simplificar a expressão:
P(t)=\frac{1000\,t}{t+1}=\frac{1000\,t/t}{(t+1)/t}=\frac{1000}{1+\dfrac{1}{t}}.

Passo 3

Agora uso que \dfrac{1}{t}\to 0 quando t\to\infty. Substituindo no resultado do passo anterior, obtemos
\lim_{t\rightarrow\infty} P(t)=\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{1000}{1+\dfrac{1}{t}}=\frac{1000}{1+0}=1000.
Portanto o limite é 1000.

Passo 4

Vamos entender melhor o comportamento da função para responder se esse valor 1000 é realmente uma “população máxima” atingida ou apenas um limite assintótico. Uma maneira é verificar se P(t) é crescente (de modo que se aproxima de cima) e também se nunca ultrapassa 1000. Primeiro mostro que P(t)<1000 para todo t\ge 0. Calculo a diferença:
1000-P(t)=1000-\frac{1000\,t}{t+1}=\frac{1000(t+1)-1000\,t}{t+1}=\frac{1000}{t+1}.
Para t\ge 0 temos t+1>0, logo \dfrac{1000}{t+1}>0. Assim 1000-P(t)>0, ou seja
P(t)<1000\quad\text{para todo }t\ge 0.
Isso mostra que a função nunca atinge 1000 em tempo finito.

Passo 5

Para ver que P(t) é crescente (o que confirma que ela vai subindo e se aproximando de 1000 sem ultrapassar), calculo a derivada P'(t). Vou usar a regra do quociente: se u(t) e v(t) são diferenciáveis então
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.
Aqui tomo u(t)=1000\,t e v(t)=t+1. Então u'(t)=1000 e v'(t)=1. Aplicando a regra:
P'(t)=\frac{1000\cdot (t+1)-1000\,t\cdot 1}{(t+1)^2}=\frac{1000(t+1)-1000t}{(t+1)^2}=\frac{1000}{(t+1)^2}.

Passo 6

Observe que (t+1)^2>0 para todo t real, portanto
P'(t)=\frac{1000}{(t+1)^2}>0\quad\text{para todo }t.
Isso significa que P(t) é estritamente crescente em todo o domínio considerado (em particular para t\ge 0). Como P(t) é crescente e está sempre abaixo de 1000 (veja Passo 4), ela tende para 1000 por baixo quando t\to\infty. Assim 1000 é o supremum (valor limite superior) da população, mas não é atingido em tempo finito.

Passo 7

Conclusão final e interpretação: o limite \lim_{t\to\infty}P(t) é 1000. A população se aproxima de 1000 bactérias à medida que o tempo cresce indefinidamente; esse é o maior valor que a população pode “alcançar” no sentido limite (população máxima assintótica). Porém, para qualquer tempo finito t a população é sempre menor que 1000.

Resposta

\displaystyle \lim_{t\rightarrow\infty} P(t)=1000\nPopulação máxima: 1000 bactérias (assintótica; não é atingida em tempo finito)

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