Crescimento Bacteriano: A população de bactérias é dada por
, onde
é o tempo em horas. Calcule:
- Qual é a população máxima?
Passo 1
O enunciado dá a população de bactérias em função do tempo
(horas) pela expressão
As perguntas são:
- Calcular
. - Determinar qual é a população máxima (ou seja, o maior valor que
atinge ou tende a atingir).
Todos os dados relevantes estão acima: a fórmula de
e que
representa tempo em horas (logo tipicamente
).
Passo 2
Primeiro vamos calcular o limite
. Uma técnica simples para limites de funções racionais quando
é dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente (aqui é
). Faço isso para simplificar a expressão:
Passo 3
Agora uso que
quando
. Substituindo no resultado do passo anterior, obtemos
Portanto o limite é
.
Passo 4
Vamos entender melhor o comportamento da função para responder se esse valor
é realmente uma “população máxima” atingida ou apenas um limite assintótico. Uma maneira é verificar se
é crescente (de modo que se aproxima de cima) e também se nunca ultrapassa
. Primeiro mostro que
para todo
. Calculo a diferença:
Para
temos
, logo
. Assim
, ou seja
Isso mostra que a função nunca atinge
em tempo finito.
Passo 5
Para ver que
é crescente (o que confirma que ela vai subindo e se aproximando de
sem ultrapassar), calculo a derivada
. Vou usar a regra do quociente: se
e
são diferenciáveis então
Aqui tomo
e
. Então
e
. Aplicando a regra:
Passo 6
Observe que
para todo
real, portanto
Isso significa que
é estritamente crescente em todo o domínio considerado (em particular para
). Como
é crescente e está sempre abaixo de
(veja Passo 4), ela tende para
por baixo quando
. Assim
é o supremum (valor limite superior) da população, mas não é atingido em tempo finito.
Passo 7
Conclusão final e interpretação: o limite
é
. A população se aproxima de
bactérias à medida que o tempo cresce indefinidamente; esse é o maior valor que a população pode “alcançar” no sentido limite (população máxima assintótica). Porém, para qualquer tempo finito
a população é sempre menor que
.